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 où l'on ie|)résenle par x une variable indépeiidaiite, par y une fonction 

 arbitraire de cette variable et par 7-,, y.,,. ., y,, les n premières dérivées de 

 celte fonction par rapport à x. 



» Il arrive bien à la condition d'Eider, qui est nécessaire et suffisante (*), 

 mais il regrette de ne pouvoir pas en déduire simplement toutes les autres 

 conditions dont sa méthode montre la nécessité. C'est cette lacune que je 

 me propose de combler dans celte Note, qui servira en même lem|)s de 

 complément à l'étude faite par Joachimstalii (**) de la décomposition de 

 cette condition en plusieurs autres. 



» On voit tout d'abord que la fonction dont F serait la dérivée par rap- 

 port à X ne doit pas contenir j-„ dans son expression, parce qu'on suppose 

 que j' est une fonction arbitraire et que tout terme en )„ donnerait, dans 

 la dérivée, un terme en ^ „^| qui ne se trouve pas dans F. Soit 



cette fonction connue; posons 



do do ftv df dv 



On doit avoir identiquement 



(2) p + 7j, +/>, jo + ...-+- /j„-,jr,. --^ F(x, 7', /,,..., /„_,,jr«). 



ce qui exige, puisque l'on peut regarder j^„ comme une variable indépen- 

 dante, que la fonction F soit de la forme 



F = p -^ r«F„, 



P et F„ désignant des fonctions indépendantes de^'„, et que l'on ait 



(3; . /^;.-, = F„. 



» La fonction inconnue f doit donc satisfaire aux deux équations si- 

 nudtanées aux dérivées partielles du premier ordre (2) et (3), que nous 

 mettions sous la forme 



(4 ) H ^ p + (JJ, I- p,J. + . . . + Pu-lJn-< -H Pn-,J„ - I'" = O, 



(5) H, =^ /5„_, - F„ =: o. 



(*) Journal de l'Ecole Polflcc/inir/uc. Bkrtrand, XXKVIIP rallier. 

 (**) BtRTUAMD, Traite de Calcul intéi^rul, t. I, payes i53 et suiviiiitts. 



