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 » Posons maintenant, pour simplifier l'écriture, 



d} " ^." ^/j; ~ " • • • ' rlr, ^ '■' ■ ■ • ' ^4^ "^ "-' ' 



et formons le tableau suivant de fonctions : 



dx ' "-' rfx " "-- dx -' ' >■ dx 



» Nous trouvons, en adoptant la notation de Poisson, 

 (H, H,) = H. = p„-i — w,, 

 (H, Ho) = Hj = p„_3 — Wo, 



(H, H„_| ) =:= H„ = y — w„ I , 

 (H, H„) = 0),,, 

 et de plus 



("'■' "^) = ^;;:;- - ;?/—,' 



/ et A' désignant deux nombres quelconques de la suite i, a, 3,...,«. Les 

 variables que nous associons dans la formation de ces fonctions sont évi- 

 demment 



X et p, j et q, j\ etp,, .. , jr„_, et p„_,. 



» Pour que les équations (4) et (5) aient une solution commune, il faut 

 qu'on ait 



(G) H2 = o, H3=o, ..., H„--o, 



et, identiquement, 



(7) «'.= o, (H,, H^) = o, 



pour toutes les valeurs i, 2,..., n des indices j et k. 



» Les équations (6), jointes aux équations (4) et (5), font connaître les 

 valeurs de/), q, Pn--i p,i-[ en fonction de x,;?-, /,,... , j'„_i, et, par suite, 

 déterminent la fonction inconnue f. 



» La première des équations (7) est la condition d'Euler, et je dis que 

 toutes les autres en sont des conséquences immédiates. En effet, si nous 

 considérons la fonction &),, nous voyons qu'elle ne contient pas la va- 

 riable j-„, car on a 



'^P «'F,, dF„ rfF„ f/F„ dF„ 



O), = 



dx„^, ''■^" dj;,::, dx dj-^' df,^'- ■ dr„_,^"' 



et le coefficient de j^„ est identiquement nul. 



