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» Nous emploierons de plus l'identité donnée par Legendre 



p' = x' + j' + z' + 7(x + j) (j+ z) (s + ^) 



(5) 



( X [{x- + 7- + s- + j-s -\- zx -+- xjY + pxyz] , 



où p désigne, pour abréger, la somme x + / -h z. 



» 3. D'abord l'équation (2) n'est pas possible à moins que l'une des 

 indéterminées ne soit divisible par 7. Cela résulte de ce que 29 ne peut être 

 la somme de trois septièmes puissances sans diviser l'une d'elles. En effet, 

 si aucune des indéterminées X, j- ou q n'est divisible par 29, on pourra 

 déterminer deux nombres a, /3, de manière à vérifier les congruences 



x^^ocz, j^^z (inod. 29), 

 d'où 



a;' + j' 4- s'EES2''(a' -t- /3' H- j) (mod. 29). 



Si le premier membre est divisible par 29, on a 



«' + |5' -4- 1 E^o (mod. 29). 



Or les résidus de septièmes puissances, pour le module 29, sont ±1, ±112. 

 » On aurait donc, en choisissant convenablement les signes, l'une des 

 congruences 



±ii:i + i^o, ±i±i2 + i^o, ±i2±i2 + i^o (mod. 29), 



ce qui est manifestement impossible. Nous concluons de là d'abord que 

 le nombre 29 ne peut diviser une somme de trois septièmes puissances sans 

 diviser l'une d'elles, et ensuite que l'équation (2) est impossible si l'une 

 des indéterminées n'est pas multiple de 29. 



» Soit z divisible par 29, et supposons que 7 ne divise aucun des trois 

 nombres x, j, s. On déduit des équations (3) 2z — P -h m'' — n\ et l'on 

 conclut du principe que nous venons de démontrer que 29 divise l'un 

 des trois nombres /, ?ii ou n; il divisera ?i, puisque, divisant z, il est pre- 

 mier avec X et J-. Or, en substituant j = 11^ — x dans l'équation (i), on 

 obtient l'équation 



o = x'+(«'— a')'+ s' = 7^'■'— 7.r «'•« + ...— ^ j:'h'--4- 7a'*'«'— 7^'v^ 



d'où l'on déduit, après avoir divisé par n\ 



v'^7x", v''^7»t'''' (mod.n). 



