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Les nombres x, y, z vérifieront les équations (4), où Z, m, ?i, )., /x, v repré- 

 sentent des nombres entiers, premiers entre eux deux à deux, dont un seul, 

 n, peut être multiple de 7. 



» Posons, pour abréger, P = a, in' -- h, ']^ ri' = c, Imn = P, 



x" -h /- + Z- -i- xy -i- jz 1- zx = q. 



On aura, en conséquence, 



nbc-- 7«P', 



et, si l'on tient compte de l'équation (2), on tirera de l'identité (5) l'équa- 

 tion 



(6) f = fv^{r-'-rxjz). 



La somme p est donc divisible par 7 P. Désignons par B le quotient /> '. 7 P, 

 nous aurons 



(7) B'=ry=4-7BPxjz. 



Or B est premier avec xjz et, par conséquent, avec 7 P. On a, en effet, en 

 vertu des équations (4), 



p = X H- 7" + s -— /' — 1\ — m' — mix = 7"/^' — 7«v, 



B 



l'—l m'— fj. _ 'j'/i' 



^ iiifi 'j ni tm 



d'où l'on voit que B est premier avec chacun des nombres Z, X, m, p., •■jn^ v, 

 puisque ces nombres sont eux-mêmes premiers entre eux deux à deux. 



» 2. Nous allons démontrer d'abord que B est un carré. Soit, en effet, 

 A^ le plus grand carré diviseur de B, et posons B — k-Q. Le carré q"^ dans 

 l'équation (7), doit être divisible par A'. Posons, conséquemment, q = kq'. 

 En divisant par A', nous déduisons de l'équation (7) 



A'-6' = 9"+ ■jO^xjz. 



Comme Q n'a pas de diviseur carré, il ne peut diviser q'- sans diviser q' . 

 Soit donc ç'= Rô, et divisons par 5^ la dernière équation; nous trouvons 



Or 5, comme son multiple B, est premier avec xjz et avec 7P (4); néan- 

 moins le quotient 7Pj;^z ". est entier; on a donc 



5 = 1: 



