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 deux carrés premiers entre eux, ce qui est impossible. On a donc 



On décompose cette équation de l'une des manières suivantes : 



U' + 3.7*V*± A3 = 2.M% 2.7'M% 



U*-h a.y^V'qz A= = 32.7'ÎN% 32]S% V -•= MN, 



en sorte qu'on a l'une des deux équations 



U^=:: M« - 3.7^M^]S^ + i6.7'N% 

 W = fW- 3.7^\]»]N*-^ I6N^ 



Si M était pair, U devrait l'être également, ce qui n'est pas admissible, 

 puisque les trois nombres U, M, N sont premiers entre eux. La dernière 

 équation doit être rejetée, car, suivant qu'on suppose U pair ou impair, on 

 en déduit l'une des deux congruences impossibles 



0^^7 — 3 (mod. 8), ^ -^ 7 (mod. 8). 



Dans la première équation, il faut supposer U impair et N pair, parce que, 

 dans le cas contraire, on aurait la congruence absurde 



osssr — 3 (mod. 8). 



Posant donc N = 2 a/3, nous voyons que la solution de l'équation proposée 

 est ramenée à celle de l'équation 



U* = M*-48.7*M'a*p^-^(lG)^7V.«,'3^ = (M*-24.7-.a'/3*)^+2^7'a*/3^ 



En tenant compte de ce que le nombre 7 ne peut diviser une somme de 

 deux carrés premiers entre eux, on voit que l'équation obtenue ne peut se 

 décomposer que d'une seule manière 



U^ + M" - 24 . 7- a' /5* -_^ 2 a% 



d'où résulte l'équation 



Si donc l'équation proposée était possible, on trouverait trois nombres 

 premiers entre eux, U, a, /3, propres à vérifier la dernière équation. On 

 pourrait donc aussi résoudre l'équation (1) 



u^ =^ x^ ■+- 7'7"'', 

 en donnant aux indéterminées des valeurs entières et premières entre elles 



