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 liilé : « Reclierchcs sur la convergence et la divergence des formules de 

 représentation de Fourier », s'exprime comme il suit : 



« Lejeune-Dirichlet, qui, le premier, a établi pai" une analyse enlière- 

 incnf rigoureuse, des conditions suffisantes pour la convergence de la série 

 trigonométrique de Fourier, s'est borné aux fonctions n'ayant qu'un 

 nombre fini de maxima, entre les limites, — n, + n de la variable, et a 

 démontré que sous celte condition les développements étaient toujours con- 



vergents. 



» Ce n'est donc qu'en considérant des fonctions qui présentent, soit 

 dans le voisinage de valeurs particulières, soit pour toutes les valeurs de la 

 variable, des maxima infiniment petits et infiniment rapprocbés, que l'on 

 pourra s'attendre à rencontrer enfin la limite séparant les fonctions expri- 

 mables par la série de Fourier de celles qui la rendraient divergente, ou 

 se convaincre qu'une telle limite n'existe pas, du moins pour les fonctions 

 continues. 



» M. du Bois-Reymond, commençant ses recherches par les cas les plus 

 simples, considère d'abord une fonction y (a-) qui s'approche de la valeur 

 /(o) = o, avec un nombre infini de maxima. Il choisit l'expression suivante : 



f(x) = Ç(x)cosy(,r), 



Ç (x) s'annulant pour x = o, sans maxima, et 'f (.r) devenant infinie pour 

 la même valeur, mais suivant une loi dont il se réservait de disposer. 

 L'étude de ce cas simple s'est déjà trouvée répondre aux besoins les plus 

 essentiels de la théorie, et a conduit le savant auteur à ces deux jirincipalcs 

 jiropositions : 



» Si Ç(x) et f {x)~* s'annulent sans maxima avec x, le développement de 

 f{x)sera convergent pour j?=o; mais, si ^ (x) devient infinie, en croissant 

 d'une certaine manière, avec un nombre infini de maxima, le développe- 

 ment sera divergent pour x = o, bien qu'alors la fonction soit finie et dé- 

 terminée. 



» B('aucou[) d'iiutres résultats, que je ne puis indiquer, intéresseront 

 vivement les géomètres, comme servant à fiire plus complètement con- 

 naître la portée du théorème qui joue un rôle si important dans l'analyse, 

 et auquel reste à jamais attaché le nom de Fourier. » 



M. le baron Larrev présente à l'Académie, de la part de M. Darnes, chi- 

 rurgien général de l'armée américaine, tui volume compacte, en anglais, 

 de looo pages, intitulé : Choiera l'inilcin'ujuc de 1873, aux Etals-Unis. 



