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 suite fie l'impossibilité de résoudre en nombres entiers l'éqnation 



a Voici les preuves de cette assertion : 



» Soient x, j, z les racines de l'équation f' — pv- -h f/f — /=: o, et 

 soient /j, q, r des nombres rationnels; en faisant l = pq — r, on obtient 



{i>- p) {v- -^ (j) -h / = o, 



et /sera aussi rationnel. Les formules de Newton donneront 



oc' -Hj>' M- 2' = /j' — -ji^p' — p-q -+- q-)+ Tpl--, 



et par suite l'équation j.'' + >' -f- z' = o devient 



/''+ ii[p' - P'(î + f) + ']ri- = o. 



Maintenant si l'on suppose / = o, il vient p = o, et l'intégration en i» 

 a une racine nulle; si l'on suppose p = o et Z différent de zéro, il vient 

 q = o c\ v'' = — I. Ainsi l'un des nombres x, y, z serait nul, ou bien ces 

 nombres seraient proportionnels aux racines cubiques de l'unité. En faisant 

 abstraction de ces cas particuliers, /; ne sera pas nul, et l'on pourra rem- 

 placer q par p-q, l par /)V, ce qui donnera 



d'où 



» On n'aura pas i — ry + if- — 2i/-i puisque q est rationnel; donc la 



quantité (i — 7 ->- 7^)' — * sera un carré, et, en posant q — - = ' fi'^iction 

 irréductible, nous aurons à rendre un carré la quantité 



ou, en nuiltipliant par 7-. iGt\ la quantité 7'(i' + 6s- 1-) — 7 /', qui est lui 

 nombre entier divisible par 7; donc, ce carré entier étant représenté par 

 (7 u)-^ nous aurons à résoudre en nombres entiers l'équation 



i*-h6s-f''— \t' = n\ 



» Il reste à discuter cette équation, dans laquelle s c\ t sont premiers entre 

 eux : t sera divisible par 7, et u sera premier avec s et /. 



C. u.. 1S7G, 1" S-meitrf, (T. I.XXXM, N» !<!.) ' ' ^ 



