( lafiS ) 

 '« 2. On peut poser de !a façon suivante le problème tlo la Iransfornia- 

 lion : 



» Trouver une intégmlc rationnelle ^- = y de l'équation 



eh d.f 



l'ku + U.ll 



). et p. di'signant des constantes convenablement déterminées et // le hes- 

 sien de u\ c'est sous celte forme que M. Ilermilea (.lepnis longtenij)s résolu 

 ce problème dans le cas de m = 3. 



» On voit facilement que, si le degré m de la transformation est de la 

 forme 4« -i- ' > X et Y sont déterminés par les formules suivantes : 



dy d.r -^ 



où, J désignant le covariant du sixième degré de ?/, et II sont des fonc- 

 tions homogènes de u et de h et respectivement du degré [n —- 1) et du 

 degré n. 



» Semblablement, si m est de la forme /j/; — i, X et Y sont délermiiiés 

 par les formules 



X — ;- 4- a-Jn, \ — -j- -1- 7Jn, 



OÙ et n sont des fonctions homogènes de u et de /( et respectivement du 

 degré n et du degré ii — 2. 



» Le problème de la transformation es! donc ramené à la détermination 

 des polynômes et II. 



» 3. A cet effet, portons les valeurs précédentes de X et de Y dans 

 l'identité (i), en posant^ = ),u -H [J.li, puis 



du - dh 



dy dy 



du . dh 



■t] — —rj- & — > 



' it.r d.r 



, du ,, illi 



' dy dy 



et 



' d.r dx 



f ,dii f.,dli 



les deux membres se transforment en deux polynômes en p, 0, o' et 0' qui 

 doivent être identiques et dont les coefhcienls ne renferment que n, h, 



