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 puissancps de A-, et alors les coefficients sont des séries entières en a:, qni, 

 ainsi que M. Weierstrass l'a observé (*), peuvent être sommées. C'est à 

 ce dernier mode que se rapporte la remarque que nous nous proposons 

 d'ajouter, et que rien, ce semble, ne pouvait faire prévoir. En nous bor- 

 nant, pour abréger, à la fonction AZij:), nous l'énoncerons de la manière 

 suivante : Dans le développement de Al{x) ordonné suivant les puissances 

 de/-, le coefficient de k"'" est une somme de termes de la forme 



y'(x) cos 3 px + (p {x) sin ipx, 



dans lesquelsy'(j?) et 9 (jr) sont des polynômes entiers en jc, et /; un 

 nombre entier dont le carré ne peut jamais être supérieur à m. 



» Pour le faire voir, nous cbercherons d'abord sons quelles formes se 

 présentent les développements de sin am x et de son carré ordonnés sui- 

 vant les puissances de /-. En posant 



y = sin amx, 



on a l'équation différentielle du second ordie, 



» Faisons 



j = sinx + X:^S| -i- /c^ S2 -h • ■ ■ , 



f = sin^x+ /rS=Si' + k"S^f'^- ..: 

 il est clair que S|f ne dépend que de 



et, en remplaçant r, J>", 7^ P<'»>' le'"'s valeurs, puis égalant les coefficients 

 de A"", il vient 



» Cette équation, en y joignant les conditions S,„ = o, S'„,= o pour x=o, 

 détermine S,„, si S,, S3,..., S,„^, sont déjà connus. Convenons, une fois 

 pour toutes, de représenter par/ (x), 9(Jî") des i)olynômes entiers en x\ 

 il est facile de conclure de ce qui précède que S^ est une somme de termes 

 de la forme /(j:)cos(2/3 -H i)x H- 9(a;)sin(2/) -H i)x, /jetant égal à 

 l'un des iioiid)res o, i, 2...., m. Pour s'en assurer, il n'y a à remarquer, 

 premièrement, que S, est effectivement de la forme indiquée, et , en se- 

 cond lieu, que la loi, étant suj)posée vraie pour S,, Sj,..., S,„_,, l'est encore 



[*) Jnuinal <lc Crrllr, I. I,U, p. 358. 



