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pour S„. On obtient ainsi les résultats suivants : 



l^-S, = sin jr — /| x cos.r -*- sin 3 x, 



4'So = (7 — 8j:-)siu.r — vt'ix cosjt -l- 8 sin 3x — \2X cos3 jr + sin5 jt, 



4«S3 = 167 — 8Sj:-)sin X + ( y -a^' — 224 J?) coso- — (72^= — 82) sin 3.r 



— i56j?cos3x -I- 16 sin 5x — 2oa'cos5.r -t- sin7.r, 



u On déduit de là 



sin^am a: — ■ — - cosa.r + k'^S,- -f- A*Sl" + . , 

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SJ,'' étant une somme de termes de la forme 



J\.v)cosipjL- -\- Ç3(.r)sin 2/JX, 



dans lesquels/) reçoit les valeurs o, i, 2,.. . m -{- i . Du reste, on parvien- 

 drait imnicdiatemeut à la même conclusion en faisant 



z =r sin"am j:', 

 et se servant de l'équation 



2"-|- 4z — 2 — 2k^{— 23-1- 3z^). 



» Faisons encore 





sin^ain.rr/x = --sin2,r -l- A^R, + A-^R,H- 



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R,, Ro,... sont des fonctions impaires de jr de même forme que S^", S^", — 

 Revenons maintenant à la Iranscendanle A/(.r), et posons 



A/(x) = i-f- k-U, ~k*\j,-\-...; 



l'équation (i), rappelée plus haut, donne 



rfA/(.r) , ,, \ r' 7> ■ •> ; 



^ — - + M[jc) I A-MU-ain j:r/.r — o, 



et, rn égalant à zéro le coefficient do A"'", il vient 



U'„,+ (^ - -sinaj^^ U,„_, 4- R, U,„_o -f- .. . + R,„...U, + R,„_, = o. 



)) Celte formule, jointe à la condition L ,„ r- o, pour .r .— o, fait con- 

 naître U,„. dés que U,, Uj. .., U,„., sont déterminés, et montre que le 

 coelficient de A"'" est effectivement une somme de termes de la forme 

 y(x)cos2pjc 4- <j5(a:)sin 2yj.r on nombre liniili', [> t'tanl un entier. « 



