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 théorèmes, dont le dernier (le seizième), résumant ceux qui le précèdent, 

 est énoncé de !a manière suivante : 



rf'y 



« Si l'intégrale générale de l'équation -— =: V y est algébrique, il v aura toujours une 



intégrale partiruliùre jr, telle que la fonction — ^ soit une fonction rationnelle de x, ou 

 une racine d'une équation du deuxième ou du quatrième degré, u 



» L'intégrale particulière considérée ici est racine d'une équation irré- 

 ductible 



(2) F(j)=7'"l^4-/^j>f'"-"'^ + /Jo7-;'"-='i^+... -t-;j,„ = o, 



formée de telle sorte que, les coefficients />,, /?2,..., /?,„ étant des fonctions 

 rationnelles de x, le plus grand diviseur commun [i. des composants de j 

 soit le plus grand possible. Il est évident que, si toutes les racines de l'é- 

 quation F(j-) = o avaient un rapport constant avec l'une d'entre elles, on 

 aiu-ait F(j') =j'^H-/'c Laissant ce cas de côté, je suppose que l'équation 

 V[jr) = o admette quelque racine/, = ^Ij) dont le rapport avecj>- ne soit 

 pas constant, et, pour démontrer le théorème énoncé relativement à la 



fonction - -^5 j'examine les diverses formes que peut présenter F(^) sui- 

 vant la valeur de p.. Si [j. est différent de 6, je déduis des théorèmes précé- 

 demment démontrés que toutes 1rs racines de l'équation F(^) = o sont 

 comprises dans les deux formules <7j-, h'^[j), oii 



^(j) = aji^-' + gj2H-' -t- ... -t- ).j'"i^-', 



ae\.b désignent des constantes; «,§,..., X des fonctions rationnelles de x. 

 Si p. = 6, et que les racines de ^ [j) ne soient pas toutes comprises dans 

 les deux formtdes ay^ b<i^{y), comme dans le cas précédent, il résulte du 

 treizième théorème que F(j)est du 24^ degré, en sorte que/- vérifie l'é- 

 quation 



(3) j2> +/,,-,'» ^p^y- ^ p^y<^ +^-4 ^o 



» On trouve aisément la forme du polynôme F(j") dans le cas oii toutes 

 ses racines ont un rapport constant avec l'une des deux racines y ou 

 di(^); comme ce polynôme est irréductible, il no peut arlmettre comme ra- 

 cine y et ay sans admettre aussi tous les termes de la suite a-j\ a'^J, 

 a''Y, ..., ce qui exige que a soit tuie racine de l'unité. De même Fi^/) ad- 

 met comme racines tous les termes de la suite 'i(^), «(]/(/-), «-il^f^),.--- On 



