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MÉMOIRES PRÉSEIXTÉS. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les rapports qui existent entre la théorie 

 des nombres et le Ciilcul intégral; par M. E. Lucas. 



(Renvoi à l'examen de M. Piiiseux.) 



« Le but que nous nous proposons dans cette Note est de montrer 

 l'identité des formules concernant certaines fonctions numériques des racines 

 d'une équation du second degré à coefficients commensurables avec celles 

 qui relient entre elles les fonctions circulaires, et d'indiquer, plus généra- 

 lement, l'idenlilé des formules concernant les fonctions numériques des 

 racines d'une équation algébrique du quatrième degré ou de degré quel- 

 conque avec celles qui relient les transcendantes elliptiques ou abé- 

 liennes. 



» Soient a el b les deux racines de l'équation du second degré, à coef- 

 ficients entiers et premiers entre eux, et, de plus, 



fl'i ^n 



rt -t- 6 = P, ab = Q, a — h = â, u„ = ^) t',, = a" + i". 



a — b 



les fonctions définies par les relations 



S(z)=^-^^^H„, C(z)= -î-^i^„, 3 = nIog| 



2Q' 2Q ' 



sont entièrement analogues au siiuis et au cosinus, et les formides qui les 

 renferment, déduites de celles de la Trigonométrie, conduisent à des pro- 

 priétés importantes des diviseurs de u„ et de c,,, lorsque n désigne un 

 nombre entier. 



» Les formules de l'addition et (le la multiplication des arcs conduisent 

 ainsi aux formides • 



(i) «o„ = u„v,„ (2) (>• — ù-n], = 4Q", 



( 3 ) 2 u,„+„ = u,n v„ + //„ i',„ , ( 4 ) ul— ii„_ , ii„+t = Q"- ' . 



» Si l'on ne lient pas compte des diviseurs de Q et de 0*-, on en déduit les 

 propositions suivantes : 



H 1° Le terme Up^ est divisible par Hp et ii,^, et par le produit ii,,u^, si/) 

 et q désignent des nombres premiers i ;.ire eux. 



C.R.,lK',fi, 1" Sfmrilr^.CT.LXXXn, N»25.) ï68 



