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» 2° Les nombres u„ et v„ sont premiers entre eux. 



» 3° r.e plus grand commun diviseur de m„ et u,, est égal à ?/j, en dési- 

 gnant par c/ le plus grand commun diviseur de m et de ii. 



» 4° En désignant par n un nombre impair, u,, est un diviseur de la 

 forme quadratique x"^ — Q/'. 



» Les développements de M„p et de v„p suivant les puissances de u„ et 

 de ('„, pris séparément ou simultanément, sont entièrement analogues aux 

 formules qui donnent ?,\x\7ix et co?,nx en fonction des puissances de sinM 

 et de cosx, et donnent lieu à un grand nombre de théorèmes concernant 

 les formes quadratiques des diviseurs de u„p et de v„p. 



» On en déduit la loi de Vapparilion des nombres premiers dans la série 

 récurrente des «„; cette loi a été donnée par Fermât, lorsque à est ration- 

 nel, et par Lagrange, lorsque est irrationnel. L'application de cette loi 

 m'a permis de trouver un critérium général, indiquant si une équation nu- 

 mérique donnée, de degré quelconque, à coefficients commensurables, est 

 ou n'est pas irréductible. 



» Les développements de wf, et de «>'„', en fonction linéaire des termes n 

 et i», dont les rangs sont multiples de ?î, sont entièrement analogues aux 

 formules de Moivre et de Bernoulli, qui donnent sin^a^et cos^j: en fonc- 

 tion des sinus et cosinus des multiples de l'arc x, et conduisent à la loide la 

 répétition des nombres premiers dans les séries des u„ et des i'„. Par 

 exemple, lorsque n désigne le rang du premier terme contenant le fac- 

 teur premier p à la puissance de X, le terme m^„ sera le premier terme divi- 

 sible par o'"*^', et non par une puissance supérieure. Cette loi contient les 

 propositions de MM. Arndt {Journal de Crelle, t. 31, p. 260, année 1846) 

 etSancery {Bulletin de la Société mathématique, t. IV, p. 17, année 1876). 



» On a encore les propositions suivantes : 



» 1° Si p désigne un nombre premier de la forme 47 + i ou de la forme 

 4ç -+- 3, les diviseurs du quotient de iip„ par u„soiU des diviseurs de la 

 forme quadratique x- — py^ ou de la forme âx'' -+- pf'' ; 



» a° Si «p±, est divisible par/j sans qu'aucun des termes dont le rang 

 est un diviseur de p dr i le soit, le nombre p est premier. 



» La considération des diviseurs de u,,, lorsque 11 désigne les multiples 

 ouïes puissances d'un nombre premier, ou encore un nombre quelconque, 

 fait voir qu'il y a une infinité de nombres premiers communs aux deux 

 formesx*-4-Qr''et.r^ — PJ%sip = 4'/ + t ; et aux deux formes 5:=* -i- Q7'' 

 et àx"^ -4- pr'' si p =: 4? -+- 3 : elle donne des démonstrations simples de 

 la loi (le réciprocité et du théorème de Dirichlet, et conduit à certaines for- 

 mules ne contenant que des nombres premiers. 



