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 conclut de là que 



(4) ^{jr)=r^^p.j^+P., jn'^{r)Y=p^.- 



» Dans le cas où F [y] —j^- -h /;,, l'équation différentielle (i) admet une 

 seconde intégrale particulière 



» Comme cette intégrale est supposée algébrique, le procédé employé 

 pour la démonstration du septième théorème montre que l'on a 



r. 



J" ' (Ix a/), 



» Enjoignant ce résultat à ceux qui précèdent, nous pouvons énoncer 

 le théorème suivant : 



» TnÉORÈME. — Si l'intégrale (jéncrale de Cécfualion dijférentielle (1) est 

 algébrique, elle est de la forme Cj' -h Cj-,, les intégrales particulières j~, j', 

 étant : 



M Soit déterminées par les équations j^ = \, r, = -. A et B désignant des 



fonctions rationnelles de la variable oc ; 



n Soit des racines d'une même équation trinôme /'^ + p,J^ + /^2 = o ; 



» Soit enfin des racines d'une équation à cinq termes 



J- ■■ + p. 7' ' + P-ij'- -+- PzJ^ + Pa = O, 



Pn P2-, Pîi P* désignaîit des fonctions rationnelles de la variable x. 



» Ces résultats nous permettent de simplifier le théorème de M. Fuchs, 

 plus encore que ne l'a fait M. Jordan; il en résulte, en effet, que la fonc- 

 tion homogène y [j~, /,), visée dans le théorème de M. Fuchs, a toujours 

 l'une des trois formes y, ?/, ; ou jj, \aj 4- bj,) [a'f -1- ^'7',), a, b, a', b' 

 étant des constantes. Quand F(j) est de la forme ^-i^-l- ^,, y est racine 

 d'une équation binôme, et le produit jy^ est rationnel; quand 



enfin, quand F (j) appartient au troisième type, 



On peut donc former par la méthode de M. Liouville, rappelée par 

 M. Fuchs, une équation différentielle linéaire du cinquième ordre, qui 



