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devra être vériflée par une racine d'une équation binôme, toutes les fois 

 que l'équation différentielle (i) admettra une intégrale algébrique. 



» Des recherches postérieures à la publication du Mémoire de i863 me 

 permettent de résoudre très-simplement le probli^me visé par les travaux 

 cités de M. Fuchs et de i\I. Jordan, de décider si l'intégrale d'une équa- 

 tion différentielle linéaire du second ordre peut s'exprimer par un nombre 

 fini de fonctions algébriques, exponentielles ou circulaires, et de quadra- 

 tures indéfinies relatives à la variable indépendante. D'après les résultats 

 de ces recherches, la fonction (p {j,J'i) de M. Fuchs se réduit toujours au 

 premier ou au second degré, d 



ANALYSn; MATilÉM.VTlQUE. — 5wr le développement en séries des fondions kl{x). 

 Note du P. JocBERT (i), présentée par M. Hermite. 



« La première partie du théorème étant ainsi démontrée, il est facile, 

 en recourant à l'équation (2), de faire voir que p- ne peut surpasser le 

 nombre m. Substituons, dans cette équation, le développement de kl[x) en 

 série, et égalons à zéro le coefficient de k'^"\ il vient 



(3) r: + 4mU„, + 2.rU'„,_, + [x= - /, [m - i)j U„,_, = o. 



» T-a loi énoncée est évidemment vraie pour U, : il suffit donc de mon- 

 trer que, si elle a lien pour U,„_i, il en est encore de même pour U,„. 

 Posons 



en désignant f[x)cos2px -+- o{x)sin2px par it'J'li, le carré de p ne pou- 

 vant sur|)asser m — i. A chaque terme i/',fli correspond une expression de 

 même forme ?/î,','', complètement délerminéc, satisfaisant à l'équation 



'-^ + n',i:' H- 2X^ -H [x"- - 4(m - i)]/^^!l, = 0; 



et, par suite, l'intégrale générale de l'équation (3) peut s'écrire 



U,„ = Acos2.r \'in -\- Bsin a.*' y''" H- ^iil','\ 



A et B étant deux constantes. Nous avons B = o, puisque U,„ est une 

 fonction paire de x; et maintenant, si m n'est pas un carré, la forme connue 

 d'avance de U,,, exige A = o; si, au contraire, m est un carré, la constante A 



(1) Fin lie la Coiiiiiiuiiicatioii picsciUiJc dans la séance du 2f) mai 1876. 



