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GÉOMÉTRIE. — Du nombre îles points de contact ries courbes nlqébriqites ou 

 transcendantes d'un sj'stème avec une courbe algébrique. Note de M. G. 

 FocRET, présentée par M. Ossian Bonnet. 



« Étant donnés sur un plan une courbe algébrique U"„ du m"""" degré 

 et de la n"'"'^ classe, et un système de courbes algébriques ou transcen- 

 dantes, caractérisé par les nombres p. et v de ces courbes qui passent par 

 un point quelconque et touchent une droite quelconque, on connaît 

 immédiatement le nombre des points de U"„ en lesquels cette courbe est 

 tangente à des courbes du système. On peut en effet énoncer le ibéorème 

 suivant, qui est toujours vrai, avec cette seule restriction qu'aucun des 

 points de U"„ ne soit un point commun à toutes les courbes du système. 



» Théorème. — Le nombre des points de contact des courbes algébriques ou 

 transcendantes d'un sjstème {(X, v), avec une courbe algébrique du ni"''"" degré cl 

 de la Ti"""" classe, est égal à nu. + mv. 



» Cet important théorème, pour le cas des systèmes de courbes algébri- 

 ques, est dii, comme on sait, à M. Chasles (*). Une démonstration complète 

 en a été donnée par M. Zeuthen pour ce cas spécial et déjà très-étendu (**). 

 Il nous a paru intéressant d'avoir, du même théorème généralisé (***), une 

 démonstration rigoureuse, et d'une simplicité répondant à celle de l'é- 

 noncé. C'est cette démonstration que nous présentons à l'Académie (****). 



Nous partons du théorème suivant (*****) : 



» Etant donnés deux systèmes (p., v), [[iJ , v') de courbes algébriques ou 

 transcendantes, le lieu des points de contact de deux courbes de iun et l'autre 

 système est une courbe de degré iJ.p.' + jxv' -(- p/v. 



» Supposons que le système (p.', v') soit un faisceau ponctuel de courbes 

 du m'""" degré. On a alors, comme l'on sait, p/= i, v'= 2{in — i) — p, en 

 désignant par p un nombre entier, dépendant de la présence de courbes 

 multiples dans le faisceau. Par suite : 



)) Le lieu des points de contact des courbes d'un système [ix, v), avec une 



(*) Comptes rendus, t. LIX, p. 210. 



(**) Mathcmatisclirn Annalen, 3' vol., p. i53. 



(***) Ce tliéorème a été énoncé par nous, sans démonstration, clans un précédent Mémoire 

 [Bulletin de la Société Mathématique, t. II, p. 82). 



(****) M. Halphen a donné une démonstration analytique du mémo théorème, dans un 

 Mémoire qui doit j)araîtrc sous peu dans le Journal tic Malliémnliques de i\I. Resal. 



(*****) Voir la démonstration de ce théorème, Bulutin delà Soc. Mnthcmat., t. Il, p. 82. 



