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série de courbes algébriques du m'''"' decjré formnnl un faisceau, est une courbe 

 (In decjré [2m ~ p — i) a 4- v. 



» On reconnaît de plus immédiatement que cfxncun des points fondamen- 

 taux du faisceau est un point ninlliple d'ordre u. du lieu, les p. branches étant 

 tangentes aux p. courbes du système qui passent ence point. Enfin, tes points sin- 

 guliers des courbes du faisceau sont des points singuliets du lieu. 



)) Cela posé, étant donnée dans le plan d'un système (y., v) une courbe 

 algébrique U", du in'^'"° degré et de la n'^'"' classe, formons un faisceau 

 ponctuel de courbes de degré m dont U", fasse partie, ce qui est évidem- 

 ment possible, et même d'une infinité de manières. A l'aide de ce faisceau 

 et du système [p., v) construisons le lieu ci-dessus défini. En vertu du 

 théorème de Bezout, la courbe (C) ainsi obtenue coupe U", en un nombre 

 de points égal ou plutôt équivalent à /n[(a/n — ;> — i)p. 4- v]. Parmi ces 

 points figurent les m'' points fondamentaux du faisceau et les points singu- 

 liers de U^, ; les autres sont des points de contact des courbes du système 

 avec U^, car appartenant à (C) ils sont chacun le point de contact d'une 

 courbe (p., v) avec une courbe du faisceau, et cette dernière ne peut être 

 qi'6 U^, puisque par chaque point du plan, autre que les points fondamen- 

 taux et les points singuliers, il ne passe qu'une branche de courbe du 

 faisceau. Pour avoir le nombre des points de contact cherchés, il faut donc 

 simplement déduire du nombre total des points d'intersection deU"„et de 

 (C) le nombre de ces points absorbés par les points fondamentaux et les 

 points singuliers. Or, chacun des m- points fondamentaux étant un point 

 multiple d'ordre p de (C), compte p fois dans l'intersection de (C) avec U",. 

 Quant aux points singidiers de U"„, ils con)ptent ensemble pour un certain 

 nombre de points qu'il serait aussi difficile qu'inutile d'évaluer a priori: il 

 nous suffira de remarquer que ce nombre est nécessairement indépendant 

 de la caractéristique v (*). En le désignant par o{p), le nombre N des points 

 de contact cherchés peut s'écrire : 



{i)'!!i ~m[{'im — p — i) p-hv\ — ni- p — (p[p) = m[m ~ p — i)p -^ mv — (fi{p). 



Cette formule ne fait pas encore connaître N; mais elle nous montre que 

 N s'exprime linéairement en fonction de v, et que le coefficient de v est 

 égal à m. 



(*) Ce fait peut se juslilitT parquelques considérations analytiques fort simples; mais il 

 est tout aussi évident que cet autre fait, admis sans démonstration, et consistant en ce que 

 le nomi)re des points (l'intcTscction de deux courbes absorbés par un point singulier com- 

 mun est indcpcndaut dts dcyrus de ces courbes. 



