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 » Pour achever de déterminer N, transformons la figure par polaires 

 réciproques. Le système (jj., v) se change alors en un autre système (v, p.), 

 et la courbe U", en une autre courbe V"' de degré n et de classe m. D'ailleurs, 

 les contacts de V™ avec les courbes du système transformé correspondent un 

 à un aux contacts de U;^, avec les courbes du système primitif; en un mol, 

 le nombre de ces contacts se conserve dans la transformation. Par suite, 

 en désignant par q et ^ (v) les deux nombres qui, dans la nouvelle figure, 

 correspondent respectivement à ^ et à ip [ij.) dans l'ancienne, on a 



(2) N = n(n ~ q — i)v + «p. — 4'(^)* 



Le nombre N, suivant cette expression, est une fonction linéaire de ;j., dans 

 laquelle le coefficient de p. est égal à n. 



n En comparant les égalités (i) et (2), on a donc en fin de compte 



N — iiu. -r- mv. ' 



» Remarque. — De l'identité des formules (i) et (2) on conclut encore 



(3) 'AF-)^hiJ., 



(4) -J>(v) = /vv, 



h et k désignant des nombres entiers. D'autre part, nous pouvons supposer 

 que l'on ait choisi sur U"„ les m- points fondamentaux du faisceau, de 

 façon que ce faisceau ne comprenne aucune courbe multiple de degré in- 

 férieur à m. On sait que, dans cette hypothèse, le nombre que nous avons 

 désigné par p est nul. 



En faisant p = o,q — o, dans les relations (i) et (2), et ayant égard 

 à (3) et (4), on obtient 



m{m — i) — h = n, n[ii — 1) — k = m, 



» Ces égalités signifient que h est égal à V abaissement de classe produit 

 dans U"„ par l'existence sur cette courbe d'un ou plusieurs points singu- 

 liers, et que A est égal à V abaissement de degré dû aux tangentes singulières. 

 Par suite : 



» L — Le nombre des contacts simples des courbes d'un système (p., v) avec 

 une courbe algébrique, qui sont confondus en un point singulier de cette courbe, 

 est égal à p. fois l'abaissement de classe produit par ce point singulier. 



» IL — Le nombre des points de contact absorbes par toute tangente siti- 

 gulière de la courbe algébrique, est égal à vfois l'abaissement de degré dû à celle 

 tangente singulièie. » 



