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» La courbe a, à l'infini : i" deux points multiples d'ordre inii aii\ deux points circu- 

 laires; 2" m points multiples d'ordre in' aux m points de U"; et 3" /«' points multiples 

 d'ordre in aux m' points deU"'. 



» Corollaire. — Lorsque TJ"' est un point, m' = o, ?i' = i, la courbe est 

 d'ordre 2m ■+- 4"- 



» Et lorsque U" est aussi un point, m = o, « = i , la courbe est du qua- 

 trième ordre : elle a deux points doubles aux deux points circulaires de 

 l'infini ; c'est Vovale de Cassini. 



» II. Si l'on jirend sur la tangente de cliaqiie point Û d'une courbe U" deux 

 segments x faisant chacun avec une tangente 00', menée du point à une 

 courbe U"', un produit constant (5x.59' = p.), le lieu des points x est une 

 courbe de l'ordre 2 (mm' -1- nin' 4- ini'). 

 jc, fin' 2 u 



-> 



2 ( mm' -i-imn' -{- nn'). 



u, [2 m' + [\n')m X 



C'est-à-dire : D'un point x de L on mène n tangentes x9, et de chaque point de contact 6 

 on mène n' tangentes GO' ; puis de chaque point on décrit un cercle de cliaiiue rayon égal 



à —jt qui coupe L en deux points //, ce qui fait inn' points u. Un point u étant pris 



sur L, le lieu d'un point 9 d'où l'on peut mener à U"' une tangente 00' égale à — est 



9 it 



(d'après le théorème précédent) une courbe d'ordre (2/// + ^rt'), qui a [im' +4"') '" 



points 6 sur U"'; les tangentes en ces points coupent L en [1 m' -\- ^n'] m points x. 11 y a 



donc 2 {mm' -+- 'j.mn' -V- nn'] coïncidences de x et u. 



a II y a 2mn' solutions étrangères dues aux points jc situés sur les tan- 

 gentes des points de U" qui se trouvent sur les tangentes de U'" issues des 

 deux points circulaires de l'infini. Il reste 2 [mm' -+- mn' + nn') solutions. 

 Donc, etc. 



La courbe a, à l'infini : 1° deux ])oints multiples d'ordre lut' aux deux jioints circulaires; 

 2" m points multiples d'ordre in' aux m points de U„,; 3° mm' points iloubles sur les lan- 

 gentes de LI"' aux mm' points d'intersection de U„, et U"', 



Corolldiie. — Lorsque la courbe U"' se réduit à un point, m' ^ o et 

 «'= I, la combe est d'ordre 2m 4- 2n. 



» III. Le lieu d'un point x d oit l'on mène à deux ionrhcs U", U"' deux 

 tangentes \Q, \0' telles, que te produit de la seconde \0' pat une timgente 66" 

 menée du point de contncl de la première à une troisième courbe U"" soit con- 

 stant, est une courbe de l'ordre 2[mn'(in" -t- n") ■+- un" (m' -+- n')]. 



JC, nn" {2m' -{- 2it') u 



• I „ „\ Donc, etc. 



//, n [21/1 -h "in )m JC 



