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culaires; 2° mm' points multiples d'ordre 2«" sur les tangentes de U"' en ses mm' points 

 d'intersection avec U„ ; 3° ■?.n"m' points nuiltipics d'ordre m sur les tangentes de U"' en ses 

 in" m' points situés sur les tangentes de U"" issues des deux points circulaires. 



M Auli'emenl, [)oiii'U,„ iiiiiciirsale, 



n nï 2ni a 



1 { m' -4- n' ) n m a 



2inn"{2m' + n'). 



» IX. Le lien d'un point x d'oit l'on mène à deux courbes U"',U"" deux tan- 

 gentes xO, xd' telles, que le produit de la deuxième xO' par un segment aô 

 fait sur la première par une courbe U„ soit constant, {x6'.a0 = p.), est une 

 courbe de l'ordre 2 m ( m' n" -+- in"n'+ 2 11' 11"). 



jr, n [2m' + 2/i') ni 



n. 



n m \ 1 m 



2n 



m n 



-in' 71"). 



» La courbe a, ù l'infini : 1° deux points multiples d'ordre zmn'n" aux deux points 

 circulaires; a" mm' points multiples d'ordre ?.«" sur les tangentes de U"' en ccsmr/i' points 

 d'intersection avec U^; 3" m" points multiples d'ordre zn' m aux m" points 0' de U"". 



» X. De chaque point 6 d'une courbe U"', on mène les tangentes W d'une 

 courbe U"", sur lesquelles une courbe U,„Jait des segments a 5', et l'on prend sur 

 la tangente du point 6 de U"', les segments Ox faisant chacun avec chaque seg- 

 ment a 5' un rapport constant (5x . ô'a = p.) ; te lieu des ])oints x est une courbe 

 de l'ordre 2 m (m' m" + m'n" -t- n'n"). 



„ ,M ,rTVT 2 m [m' m" + 2m n' -h n'n"). 



u, 2m {m + 2 71 ) m' [IX] X 



C'est-à-dire : De chaque point .r de L on mène n' tangentes jO, puis, de chaque 

 point 0, n" tangentes 00' qui rencontrent U^ chacune en m points «; puis on décrit de 



chaque point 0, un cercle de rayon ^j(|ui coupe L en deux points u, ce qui fait 



nn' n" m points u. Un point a étant jjris sur L, le lieu d'un |M)int 0, d'où l'on ])eut mener 

 une tangente 00' satisfaisant à la relation ÛK.nO' = u,esl (d'apièsie théorème 1\ 1 une courbe 

 d'ordre 2w [m" -h in" , qui a donc im \m" -f- m" ] m' points sur la courbe U"' : les 

 tangentes en ces points coupent L en im [m" ■+- m") m' points x. 



» Il y a 27i" iniii' soltitioiis étfangèrcs causées par les tangentes 55' qui 

 passent par les deux points circulaires de l'infini; car alors le segment aô' 



a telle valeur que l'on veut, et le cercle décrit thi rayon ~ peut passer 



par le point x, de sorte que 11 coïncide avec x, ce qui fait une solution 

 étrangère. Et ainsi 27i"in7n'. U reste 2/n(/n'm" -1- th' n" -+- //«"), Donc, etc. 



• La courbe a, à l'infini : 1° deux points multiples d'ordre n' n" m aux deux points cir- 

 culaires; 2" m' points multiples d'ordre n"mi aux m' points de L''''; 3" mm" m' points 



