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doubles sur les tangentes des points de U"' situées sur les tangentes de U"" en ses mm" 

 points d'intersection avec U,„. • 



» XI. Le lieu d'un point x d'oii l'on mène à deux courbes U"', U"" deux tan- 

 gentes x5,xÔ', dont ta seconde renconlie une courbe U,„ en un point a d'oii 

 /'o/i mène à une courbe U"" une tangente a 5", qui satisfasse à la condition, que 

 le produit de cette tangente et de la première xQ soit constant (xô.aG = /J-)i 

 est une courbe de l'ordre atiin" (lu'ni'" + m"n' -+- 211'n'"). 



:r, ?i' [2m'" -h 2n")mn" u 



n mn 2 m + 2 /< ^ 



inm" {ni'ji" + m ?i' -+- ii'n"). 



» La courbe a, à l'infini : 1° Deux points multiples d'ordre n' n" mn'" , aux deux points 

 circulaires; 1° in" mn'" points multiples d'ordre n' sur les tangentes de U"' menées des 

 7.n'"m points a où U„ est coupée par les tangentes deU"'" issues des deux points circulaires; 

 3^ mm' points multiples d'ordre in" n'" sur les mm' tangentes de U"' en ses mm' points 

 d'intersection avec U„,; 4" mm'" n' points multiples d'ordre in' sur les mm'" tangentes deU"" 

 menées dos mm" points d'intersection de U„ et U""'. 



» XII. De chaque point a d'une courbe U,„ on mène à deux courbes U"", U"'" 

 deux tangentes a 9', aO", dont la première rencontre une courbe D"' en m' 

 j)oints 0, et l'on prend sur la tcm^enle de chacun de ces points deux seg- 

 ments 0\ faisant avec la tangente aô" un produit coiïstant [Ox.aô" = p.) : le 

 lieu des points x est une courbe de l'ordre 2inn"(m'm"'+ 2m'ii"'+n'n"'). 



2 /// n" ( m' m" -+- 2 ;//' n'" ■+- n' n"). 



.r, n n mn 2 u 



u, zmn" [ni" -Jr in"')m' [W] x 



» La courbe a, à l'inlini : i" deux points d'ordre n' n" mn'" aux deux points circulaires; 

 2° -yn'" m n" m' points doubles sur les tangentes des points où U"' est coupée parles tangentes 

 de U"" menées des points do U„, situés sur les tangentes de LT"'" issues des deux points cir- 

 culaires; 3° mm'" n" m' points doubles sur les tangentes de U"' aux points 0, où cette courbe 

 est coupée par les tangentes menées des mm" points d'intersection de U™ et U"'" à U"". 



5) Plusieurs des théorèmes précédents donnent lien, comme consé- 

 quences, A des théorèmes concernant des courbes enveloppes : mais ceux-ci 

 se peuvent aussi démontrer directement, et avec la nicme facilité. 



» XIII. Si de chaque point a d'une courbe U,„ on ntè)w les tangentes aO 

 d' une courbe \]"^ , et des droites 5 a, « des points n, d'une courbe U„^, telles, que 

 l'on ail a 5 . aa, = p., ces droites a enveloppent une courbe de la classe 



4mm, (m' + n'). [IVj 

 IX, ni ni, 27/i lll 



lU, ni[ini + '\fi) [\] LK ^ ' 



