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» XVIII. Si des deux points a,, a de deux courbes U^,, U^ on mène 

 à deux courbes U"', U"' deux tangentes a, Ô, a 6" dont le produit soit 

 consta7il [a,d .aO" ^= [i), la droite a, a enveloppe une courbe de ta classe 

 a min, (m'n'" + m"'n' + 2 n' n") [XI]. 



IX, /n, n'[2m" -h 2 «") m lU 

 lU, mn"'{2m' -h 2n')ni, IX 



. Donc, etc. 



Donc, etc. 



» XIX. Si de deux points a,, a de deux courbes U,„,, U^ on mène 

 à deux courbes U"', U"" deux tangentes a,6 , a.$" ayant un produit 

 constant (a, 9 . a6" = ,a), la droite Ba. enveloppe une courbe de la classe 

 ainm^ (m' m'" -f- 2 m' m'" + n'm"') [XII]. 



IX, m'm,{2ni" -{- 2n'")m lU 

 lU, mn"'{2m' -h 2}i')m, IX 



» Les huit théorèmes qui vont suivre sont des réciproques de théorèmes 

 précédents, qui y sont indiqués; néanmoins, j'en donne la démonstration 

 directe, qui est toujours très-simple. 



)) XX. De chaque point d'une courbe U"' on mène les tangentes d'une 

 courbe U"", lesquelles rencontrent une courbe U„, en des points a, et l'on prend 

 sur la tangente du point ô les quatre points x qui satisfont, pour chaque point a 

 de Um, à la relation x ô . xa = |u. : /e lieu de ces points est une courbe de l'ordre 

 4mn"(m' + n') [IV]. 



4 iiin" [m' + n'). 



a, n 711 2m a 



a, [2ni' + [\ii')ii' ni \\\ a 



» La courbe a, à l'infini : i" Jeux points multiples d'ordre n" m' m aux deux points circu- 

 laires; 2° mm' n" points doubles sur les tangentes de U"" menées des mm' points d'inter- 

 section de Um et U"'; 3" in' mn" points doubles sur les tangentes de U"" menées dis points 

 de contact 6 des tangentes de U"' issues des deux points circulaires. 



» XXI. De chaque point a d'une courbe U^ on mène à deux courbes U", U"' 

 deux tangentes aô, a 5', et l'on prend sur la deuxième U7i segment ax aya7il avec 

 la premiè7^e un produit constant ( ax.a 6 = ,a) : le lieu des poirjts x est U7ie courbe 

 de l '07xire 2 mn" ( m' + 3 n' ) [ VI ] . 



.r, Ti"mn'2 u \ 



«, (2/»' -\- [\n)nni" [I] .r | ^ '' 



» La courbe a, à l'infini : i°deux points multiples d'ordre n" nin' , aux ileux points circu- 

 laires; 2° m points multiples d'ordre «' 2 n" aux m points de U^; 3" 2«' mit" points sur les 

 tangentes deU"" menées des points où les tangentes de U"' issues des deux points circulaires 



