2ij.t}im, n 



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 trouvent sur les tangentes de U"" issues des deux points circulaires de l'in- 

 fini. Il reste 2/nm, {m' ■+■ an'). Donc, etc. 



» La courbe a, ù l'infini : 1° deux points multiples d'ordre n' mm, aux deux points cir- 

 culaires; 2° ni, points multiples d'ordie in' m aux m, points de Vm, ', 3° mm' points mul- 

 tiples d'ordre '2m, sur les tangentes de U"' aux mm' points d'intersection de cette courbe 



et de U„. 



» r,e théorème se peut conclure comme réciproque du précédent. 



» XXXIII. Je prends un autre exemple dans la théorie des systèmes de 

 courbes exprimés par les deux caractéristiques (/jl, v). 



» On a une combe U^, une courbe U"', et un système {p., y) de courbes U,n, ; 

 par chaque point a de U^ passent fx courbes U„_, qui coupent chaque tangente 

 de U"' menée du point a en pt (m, — 1) points x : le lieu de ces points est une 

 courbe de l'ordre /u,n'm(2m, — i). 



o", ij.ni^m/i' H 

 u, n'inixm, a: 



» Il y a m|j.«' solutions étrangères dues aux /« points or de L situés 

 sur U„. Il reste [j.n'm[2m, — 1). Donc, etc. 



» Lorsque U"' est un point O, fc' — i , et l'on reconnaît immédiatement 

 que la courbe a en O un point multiple d'ordre an' mm, et [xn'min, — i 

 points sur une droite passant par ce point; ce qui fait fji,n'/«(2w, — 1) sur 

 cette droite. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Note sur le développement de cosmx et sinmar, 

 suivant les puissances de sinx ; par M. Yvo.v Villarceau. 



« Les procédés en usage pour effectuer le développement de cosmx et 

 sinmj: suivant les puissances de s'injc sont complitpiés, tandis que les 

 résultais sont fort simples. On peut dès lors supposer, d'après une remarque 

 de Lamé, qu'il existe un mode d'opérer, dont le degré de simplicité soit 

 conforme à celui du résultat. Les analystes trouveront sans doute que 

 celui que nous allons exposer laisse peu à désirer du côté de la simplicité. 



» Le multiplicateur m, conformément à l'usage, est supposé un nombre 

 entier. 



» 1" Développement de cosmx. — Cette fonction étant paire et se rédui- 

 sant à l'unité quand la variable x est nidle, on peut poser 



(i) cosmx = I -+- Aj sin-ar h- A^ sinjc -f- Aj sin'j: -i-.... 



