( i488 ) 

 d'une manière apparente sur le plnn des xy avec ses points singuliers (re- 

 broussements, points doubles, etc.). Maison peut demander quelque chose 

 de plus, c'est-à-dire lui moyen de tracer la courbe uièuie dont on n'a d'abord 

 que les tangentes. Or, ce tracé peut s'opérer facilement par points; car les 

 coordonnées x' et j> ' du point de contact d'une tangente avec la courbe s'ob- 

 tiennent en supposant respectivement ^ et .r nuls dans l'équation pro- 

 posée, en prenant par rapport à z la dérivée de j, ce qui donne x', et en 

 multipliant par — z^ la dérivée de x, ce qui donne j?''. 

 » Ainsi, en posant 



F = rtz" + hz"-^ + . . . -f- wz* + a:z -+-jr = o, 



les coordonnées du point de contact de la solutive avec la droite représentée 

 par l'équation ci-dessus seront 



x' = \ > ? = Z 



A^---":-') 



dz ' I ~ dz 



•» En appliquant, comme vérification, ces formules aux équations du 

 deuxième et du troisième degré, on trouve facilement que la sous-tangente 

 est, dans la première, la moitié, et dans la seconde, les deux tiers de l'ab- 

 scisse; résultats élémentaires connus. 



» Il est donc complètement inutile de calculer le discriminant de l'équa- 

 tion proposée en z, pour tracer la solutive dont l'équation est formée par ce 

 discriminant. Le calcul est assez long et assez pénible pour qu'on n'ait 

 jamais été au delà du cinquième degré ; et l'eùt-on fait pour une équation 

 en z du degré «, on ne tirerait aucun parti, pour la construction de la 

 courbe, d'une équation qui serait généralement en x du degré n et en j- 

 du degré ji — i. 



» Ces considérations achèvent de mettre en relief l'esprit de la nouvelle 

 méthode. Elle est bien fondée implicitement sur la considération du dis- 

 criminant, dont l'importance, pour la détermination des racines, a été 

 depuis longtemps reconnue; elle n'exige pas, cependant, autre chose qu'une 

 représentation graphique de ce déterminant, dans laquelle on considère 

 comme variables doux des éléments numériques qu'il emprunte à la pro- 

 posée, représentation qui s'opère par les tangentes à la solutive, et au 

 besoin par la construction des points de contact, ce qui peut se faire à l'aide 

 des calculs les plus élémentaires, ainsi qu'on l'a vu. 



» On ferait un pas de plus dans la voie de la solution graphique, si l'on 

 parvenait à tracer géométriquement la tangente à la solutive, par un point 



