( i495 ) 

 p. 18") et suiv.), et qu'il rapporte dans sa Note des Comptes rendus du 

 5 juin 187G, je reconnus aussitôt que les résultats de cet auteur sont en 

 défaut, du moins quant à leur relation avec l'intégration par des fonctions 

 algébriques des équations du second ordre. 



» Maintenant, comme le P. Pépin semble croire, dans la Note citée, 

 avoir, par son Mémoire, répondu aux questions se rapportant à l'inlégra- 

 tion sous celte forme plus tôt et plus complètement que je ne l'avais fait, 

 je me vois obligé de montrer que, loin que ce fût fait par le Mémoire 

 du P. Pépin, ses résultats sont au contraire en défaut. Ces résultats 

 se résument, comme il l'a énoncé lui-même dans la Note citée, en ce 



d'y 

 théorème : Si l'intégrale générale de l'équation -~ = P^ est algébrique, il 



y aura toujours une intégrale particulière telle ^ que la fonction - -^ soit une 



fonction rationnelle de x on une racine d'une équation du deuxième ou du (lua- 

 trième degré. 



» Tout d'abord, je veux signaler un défaut que la solution du P. Pépin 

 aurait, lors même qu'elle serait correcte. Si, en effet, pour la résolubilité 



algébrique, la condition que Ç = — 7^ satisfasse à une équation du qua- 

 trième degré était effectivement nécessaire, la même condition ne serait 

 encore aucunement sufOsante, car e^^^''^ n'est pas toujours algébrique en 

 même temps que 'Ç. 



» Mais je vais maintenant faire voir que le théorème du P. Pépin, que 

 je viens de citer, est inexact. 



» Prenons, par exemple, l'équation 



, , f/'rt 6z — 3 du 3 

 z[z — I ) j j- -i cr r "^ It ^ O 



^ ' dz' 5 dz loo 



?_ _ 3_ 



où, en posant ?i = z '"(3 — 1) '"/, 



( \ '^y — AL ( — g' + g — ») 



^'^ 'dz'' 100 z^z — iY ■^' 



D'après le Mémoire de M. Schwarz (Journal de M. Borcliurdt, t. LXXV 

 p. 323, n° 11), cette équation n'a que des intégrales algébriques. 



» Mais d est utile de prouver cela ici directement en appliquant la mé- 

 thode de mon Mémoire cité ci-dessus, puisque ce sera ainsi donner la 

 réfutation la plus simple du théorème du P. Pépin. 



C.K., i8:f>, l«rScm<-jlr<r. (T. LX.XXII, iS-UO.) IQS 



