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» Cet énoncé ne cesse d'être exact que dans le cas où toutes les surfaces 

 do l'implexe ont une courbe comnnme appartenant à la surface (S), ou 

 bien sont enveloppées par une même développable circonscrite à (S) : nous 

 écartons ici ces deux cas spéciaux. La démonstration que nous alUns 

 donner est basée sur le théorème suivant : 



» Le lieu des fioinis de contact des surfaces d'un implexe (6,ç) avec une série 

 de surfaces algébriques du m'^'"' decjré, formant un faisceau ponctuel sans 

 singularités, est une surface [1) de degré (am— i)0-r(p, dont Q nappes se 

 croisent suivant la courhe Jondamentale du faisceau [*). En outre, les points 

 singuliers et courbes singulières des sur'jaces du faisceau appartiennent à (2), et 

 en sont respectivement des points singulières et des courbes singulières. 



» Ou peut évidemment, et d'une infinité de manières, englober la sur- 

 face algébrique donnée (S) dans un faisceau ponctuel, et même choisir ce 

 faisceau exempt de toute singularité, notamment de toute surface multiple. 

 Dans ces conditions, le théorème que nous venons d'énoncer s'applique au 

 faisceau et à l'implexe (5, ip), et donne lieu à une surface (2) de degré 

 [2m— i)6-\-cp. L'intersection com|)lète de cette dernière surface avec (S) 

 est d'un degré égal à m[{iin —- })6 -h rp]. Cette intersection comprend: 

 1° la courbe fondamentale du faisceau, de degré m", comptée 9 fois; 2° les 

 courbes singulières de (S), s'il en existe, estimées chacune avec un certain 

 degré de multiplicité, inconiui a priori, m;iis formant ensemble une ligne 

 d'un degré /((5) indépendant de 9 ("); 3" la courbe (T), lieu des points 

 de contact des surfaces de l'implexe avec (S). Le degré ô de la courbe (T) 

 est par suite donné par l'égalité 

 (i) 5— ?w(m— i)5 -r m(}) -/((5). 



» Cette formule, sans déterminer &, nous apprend que ce nombre est 

 inie fonction linéaire de (p, dans laquelle le coefficient de 9 est ég'al à m. 



)> D'autre part, la courbe de contact des plans tangents à (S), issus d'un 

 point 1 quelconque, est une courbe (C) de degré r, qui coupe la sur- 

 face (2) en [(am — i) 6 -\- o] r points. Ces points comprennent : 1° les rnr 

 points d'intersection de (C) avec la courbe fondamentale du faisceau, 

 comptés chacun fois; 2" les points de la combe (C) situés sur les 

 courbes singulières ou coïncidant avec les points singuliers de la sur- 



(*) Coiiiptrs ri/i/lits, t. LXXX, J). 807. 



(**) Cl' (ait, cviilcnt en liii-mùme, pciil d'ailleurs se dùiLoiilrer par (iiicUiiies consiiléra- 

 lioDS analytiques fort simjiles. 



