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 facç (S), estimés avec un certain degré de multiplicité, et comptant en- 

 semble pour un nombre de points <if{0), qu'on ne connaît pas à priori, 

 mais qui est certainement indépendant de o (*); 3" les points de contact 

 des surfaces de l'iniplexe avec la surface (S), tels que les plans tangents 

 correspondants passent par le point I. 



» Par suite, le nombre des plans tangents issus de I, c'est-à-dire la 

 classe 7 de la développable (A) enveloppe des plans tangents de S, aux 

 points où cette suÈ-face est touchée par des sinfaces de l'implexe, est donné 

 par la formule 



(2) 7 = (m — i) /-(î -!- ;'9 — I (5). 



Cette formule montre que 7 est une fonction linéaire de 9, dans laquelle le 

 coefficient de 9 est égal à /'. 



» Pour achever de déterminer 7 et ô*, transformons toute la figure par 

 voie de dualité. L'implexe [6, cp) devient un nouvel implexe (©, Ô); la sur- 

 face (S) se cliange en une nouvelle surface (S') de degré n, de classe m, et 

 dont les sections planes sont encore de classe/'. La courbe (F) et la déve- 

 loppable (A) ci-dessus définies se transforment respectivem«Mit en une dé- 

 veloppable (A') et une courbe (F') de même définition. jNFiis la classe de 

 (A') est égale à ô, ets'exprime en vertu de (2) par 



(3) ^=:: {Ti-i)r(p-hr6 ~é,{o). 



» De même le degré de (F') est égala 7, et en vertu de (1) s'exprime 

 par 



(4) 7 = «(«- 1)9-:- «5 --/.(?). 



» En comparant (i) avec ( 3), et (a ) avec (4), on conclut finalement 



5 = r5 H- mç, -j 1= jiQ -i- ry. 

 » Remarque. — Du même rapprochement, on conclut encore 

 /{O) ^--- [m{m - 1) - r]0, J\ [0) = [n [n - 1) - r] ?, 



résultats qui peuvent s'énoncer de la manière suivante : 



» I. — Toiile courbe singulière ci uiw surface nl(jL'biiquc{S), au point de vue du 

 contact de celle surjace avec les surfaces d'un implexe {0,(p), compte pour 



(* ) Ce iIcrnitT point s'oublit d'ailleurs an.ilytiqiiMiifiU d'une nuniùrc très-siniiiic. 



