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 » D'ailleurs, si rfc désigne l'angle de contingence relatif à l'arc A,OAj=: <ls 

 auquel se rapporte déjà la différence p^ — s,, ou la ilifférentielie équiva- 

 lente do, on a 



(N) e,-^0n—7z~ci<7, 0.. = t: — 9, — d7, Q. — 0, = n - 2O, — (h. 



Droits à la limite, dans le cercle, finis l'un et l'autre dans iH)e courbe 

 quelconque, les angles 0, etQ., sont donc su|)plémenlaires à la limite; leurs 

 sinus sont alors égaux, et l'on a d'abord 



— sin — , 



'... / ?. 



d'où 



(«') lim (sinôo — sinô,) = <^(7C0sS. 



» D'une autre part 

 («") limP^~P'=:^, 



p^ ? 



et toutes les valeurs («), (//), (//') étant reportées dans la formule (2*), on 

 a définitivement 



(2") -^ = ^/7cos5 4-, 



^ ' p sin9 



ou 



lx\ COt5 = - -f = - -f ; 



^ ' i pflT S ils 



c'est la i'ormiilc" donnée par Maclaurin et qu'une analyse régulière, fondée 

 sur le développement de l'.r et de 1'^ d'un point de la courbe en séries or- 

 données suivant les puissances ascendantes de l'arc, fournirait aussi, comme 

 on peut le voir dans le Traité de M. Bertrand. On remarquera d'ailleurs que, 

 0, ayant désigné d'abord l'angle de la tangente en A, à la courbe proposée 



avec la tangente A3 T à la ligne diamétrale A3 O, 0, limite de ô,, est l'angle 

 des tangentes en O à la combe proposée et à la ligne diamétrale. 



» On n'avait point encore de démonstration géométrique directe de cette 

 formule; celle que l'on vient d'exposer a été donnée récemment. Les 

 difficultés inhérentes au problème se trouvent levées ici, comu\e on voit, 

 H l'aide du lemme IT et par la substitution du rapport sin5j:sin5, an 

 rapport initial sinAoïsinA,. On sait que Carnot avait résolu la question 



