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GÉOMÉTRIE. — Note sur un j>()inl de Gcoméliie infiiiitésimatu ; 

 par M. P. Sekret. 



(Commissaires: MM. Bonnet, Puiseux.) 



(( t. On sait que, si l'on considère, dans une courbe plane quelconque, 

 la ligne diamétrale lieu géométrique du point milieu des cordes paral- 

 lèles à une direction donnée, la tangente en un point quelconque du dia- 

 mèlre, et les tangentes aux points correspondants de la courbe primitive 

 concourent en un même point. Le tracé géométrique de deux de ces tan- 

 gentes entraîne donc, en général, le tracé de la troisième; et il n'y a d'excep- 

 tion que pour le cas où les trois sommets du triangle A,, A 2, T se confondent, 

 comme il arrive au point de rencontre O du diamètre avec la courbe. La 

 détermination de la médiane A,,T de ce triangle évanouissant, ou de la tan- 

 gente au diamètre en ce point particulier, constitue alors un problème assez 

 délicat, qui a occupé un moment plusieurs géomètres, |Maclaurin, Carnof, 

 M. Berlraiid, et que l'on peut résoudre très-sûrement par la seule Géomé- 

 trie, en utilisant d'une manière convenable les lemmes suivants : 



w 2. Lcmine J. — Si A.A^, B,Bj, CjC^ désignent trois segments rectili- 

 gnes parallèles entre eux, on a l'égalité 



(i) surf. A, B| C, — surf. AiB^Co = 2 surf. A3B3C3 , 



A3, B3, C) désignant les points milieux des segments considérés. 



1) On voit tout de suite à quelle composition de trapèze, deux à deux 

 équivalents, se réduit l'égalité (i), que des considérations eiupruntées de la 

 Statique rendent d'ailleurs évidente, 



)) 3. Lcmme II. — Les inverses des rayons de courbure p, , /Oj d'une ligne 

 plane quelconque, considérée en deux de ses points A,, A,, et l'inverse du 

 rayon de courbure p, au point correspondant Aj de la ligne diamétrale 

 conjuguée à la corde A, A., sont liés par la relation linéaire 



/ \ 112 



(2) — -. -, — — = : 



^ ' p,sm'A, PjSin'A, ojSin'Aj 



/\ /N /\ , 



A,, As, Aj désignant les inclinaisons sur la corde A, A2A3 des tangentes aux 



points A,, Aj, A3 de la courbe proposée et de la ligne diamétrale. 



» En effet, si l'on a égard à la formule connue S = '^ "- et que l'on dé- 



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signe par R,,R2i R3 les rayons des cercles circonscrits aux irinngles A,B, C,, 



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