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 nombre des points p., qui correspondent à un point p,, et réciproquement. 

 Or ce dernier problème peut lui-même, ainsi qu'on l'a vu par noire Com- 

 munication du i5 novembre, être résolu par le principe de cornspon- 

 dance analytique; donc ce principe seul suffit pour coiniaîlre le nombre p. 

 des points de l'une des deux séries qui correspondent à un point de l'autre. 



» Cela posé, s'il arrive, et ce cas se présente on effet très-fréquemment,^ 

 que le nombre des solutions finies en {a, b, a, /3) reste toujours le même, 

 en supposant p, fini ou infini, l'ordre N cherché sera, conformément au 

 principe de correspondance géométrique entre deux séries de points, 



N = a, +;x2; 



dans le cas contraire, il faudra calculer le nombre des valeurs nulles et 



non nulles des rapports - ou ^> pour p, infini ou p^ infini. 



pi P' 

 » Pour cela, on posera d'abord, pour p, = se , 



lim^' = û', lim- = a', lim-=i', lim-=«', lim ^^ = ^', 



p, ^^' p. P' P' P' 



en sorte que les valeurs de p\ seront déterminées par les équations 



;i2) ^o (p^, «',//, a', /5') = o, 

 (D3) ^ j (i3) 93(«'>',a',/3') = o, 



(l4) ',,{a',b',ry.',^') = o, 



(r5) 9,(«', //,«', fi') ==0. 



» Si les équations (r i), (i3), (i4). (i5) ont le même nondjre de solutions 

 finies en {a',b', «', |3') que les équations (6), (8), (9), {io)en {a,b,a,^) (*),on 

 reconnaîtra immédiatement, à l'aide de ces équations et de l'équation (12), 



combien, parmi les diverses valeurs du rapport -5 il y en a qui sont deve- 

 nues : 1" nulles, 2° finies non nulles, 3" infinies. En opérant de même 

 pour le rapport -5 on aura tous les éléments nécessaires pour oblenir, en 



(*) A cet égard, disons qu'il serait bien facile de composer a priori des équations où 

 nécessairement ce nombic dimimicrait, m:iis nous avons constaté par l'expérience, et c'est 

 là ce qui a Lonslitiié le succès de notre niiliiodo, (pu', dans la nuillitude do problèmes 

 où nous avons appliqué celle transformation (problèmes dont les énoncés ont été pris ar- 

 bitrairement dans les divers recueils), ce nombre est reslé toujours constant. 



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