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 le décagone acluel, dont deux côtés opposés quelconques, tels que 



o =: M + A = M — B, 

 o = M-A = M + B, 



se coupent, en effet, sur le plan fixe représenté par l'équation M = o, 

 peut être pris pour le décagone de l'énoncé. 



» L'un quelconque des sommets du décagone se trouve donc défini par 

 trois équations simultanées, telles que 



o = M d= A = M q= B = M =h C, 

 que l'on peut écrire 



(i) A=ifM, 6= + m, C=q:M; 



et qui entraînent cette triple identité 



(i') o = A + B = B + C = M= - AC. 



» Considérons actuellement la surface du second degré représentée par 

 l'équation 



(S) - IVP-4- A.C + B.D + C.E4-D.A -t-E.B = o. 



Comme cette équation peut s'écrire 



(S') (~ M^ + A.C) + (A 4- B)D + (B + C)E = o, 



on voit qu'elle est vérifiée identiquement par les coordonnées (i) ou (i') 

 du sommet considéré. Or cette seule vérification, associée à la symétrie 

 en A, B, C, D, E des équations ( D) et (S), démontre le théorème. 

 )) 3. Si l'on désigne par 



(3) r,,p„,.., f>,,p„ = o 



les côtés successifs d'un hexagone inscrit à luie conique, on démontre bien 

 aisément que la dépendance géométrique existant entre ces six droites se 

 traduit par l'identité 



(3') >,P,P,+...+ X,P,P, = o. 



Réciproquement, l'identité (3') caractérise, en général, les côtés successifs 

 d'un hexagone inscriptible , et il n'est besoin d'aucun calcul pour lire le 

 théorème de Pascal dans cette identité. Or il est remarquable que les plans 

 des angles successifs 



(4) P,,P,,..., P„, P,0=3O 



du décagone gauche inscriptible, considéré précédemment, donnent lieu à 



