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 termes dont le mnq est un mulliple quelconque d'un certain diviseur de p — i 

 sont divisibles par p, cl les autres termes ne sont pas divisibles par p. 



» TiiKORÈAiE VIII. — Si p désiqne un nombre premier de la forme 2oq-^i\ 

 ou de la forme 20 q -h 19, les termes divisibles par p o)it pour rangs tes nombres 

 égaux aux multiples de p — i . 



» TuiiouKME IX. — Si p désigne un nombre premier de la forme 10^ ± 3, 

 les termes divisibles par p ont un rang égal à un niulliple quelconque d'un cer- 

 tain diviseur de p -\- \ . 



» Tf[i':onî:ME X. — Si le terme de rang A 4- i dans la série de Lamé est divisible 

 par la nombre impair A de la forme lop ± 3, et si aucun terme dont, le rang 

 est un diviseur (/e A + i n'est divisible par A, le nombre A est premier. 



M Théorème XI. — Si le terme de rang A — i dans la série de Lamé est di- 

 visible par le nombre impair A de la forme 10 p ±: \ , et si aucun terme dont le 

 rang est im diviseur de \ ± i n'est divisible par A, le nombre A est le premier. 



» J'ai découvert un grand nombre d'autres propositions de ce genre, 

 s'appliquant encore aux séries récurrentes contenant un terme nul, et en 

 particulier à toutes les séries récurrentes déduites de la résolution des équa- 

 tions quadratiques, et en particulier de celle de Pell. Ces propositions per- 

 mettent de décomposer rapidement les termes de la série de Lamé, par 

 exemple, en leurs facteurs premiers, ou de reconnaître s'ils sont premiers. 

 Ainsi 



Unç = 514229 



n'admet que les diviseurs premiers des formes linéaires 



1 16/J + r, r i6p -\~ 57, 



et l'essai des deux nombres 173 et 349, qui satisfont à cette condition, in- 

 dique immédiatement que «o^ est un nombre premier. 



» Il est d'ailleurs important de remarquer que les théorèmes Xet XI 

 permettent de savoir si un nombre est premier ou composé, sans qu'on ait 

 besoin de se servir de la table des nombres premiers. C'est à l'aide do ces 

 théorèmes (pie je pense avoir démontré que le nombre 



A= 2'" - I 



est premier. Ce nombre contient trente-neuf chiffres., tandis que le plus 

 grand nombre premier connu actuellement n'en contient que dix. Ce 

 nombre est, d'après Euler, égal à 2" — i. 



» En effet, le nombre A est de la forme lop — 3, et j'ai vérifié que w* 

 n'est jamais divisible par A pour A -- 2", excepté pour n égal à 1^7. » 



