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 étant le nombre des solutions entières des équations 



y' - te = /) s +iîr, z a [4x*z — x'y' — iSxyz + l\ y 3 + 272*] 

 = (4p» + 2? f )f - i6[ U ; a - ir}'+$pf]r. 



Dans le cas contraire, pour une certaine valeur de A, la différentielle 



1 A 



dx s'intègre en termes finis, et l'on trouve son intégrale 



y x' + px' + qx ■+■ r 



par la formule 



I - <f (.r}-+- V^' + px'-hqx -+■ r 

 2 '^ <j>'(.r) •+- \/x' -\-px 2 ■+■ qx -+- r 



où f[x) est la réduite qu'on obtient en s'arrêtant dans le développement 

 de \Jx* -+- px 2 -+-' qx ■+- r en fraction continue au premier dénominateur du 

 second degré, et X le degré du numérateur de cette réduite. 



» La méthode d'Abel ainsi complétée donne tout ce qui est nécessaire 

 pour l'intégration des différentielles en question, vu qu'on peut toujours 

 déterminer le nombre N qui désigne combien les équations 



y* — 'Sxz = p* + i2r, z a [4x 8 z-+- x*y % — iSxyz -+- l\ y 3 + 272*] 



ont de solutions entières. 



» En effet, la dernière de ces équations suppose que le carré de z divise 

 le nombre 



(4p 3 + *7fW ~ '«W - 4')' + 9W*]'\ 



Donc, en cherchant les diviseurs carrés de ce nombre, on parviendra à 

 assigner toutes les valeurs que peut avoir l'inconnue z. D'autre part, en 

 prenant pour z chacune de ces valeurs, avec le signe + ou —, on aura 

 pour obtenir x et y deux équations qui déterminent complètement ces 

 inconnues, et qui, d'après la forme de ces égalités, ne peuvent avoir 

 plus de six solutions. Il sera donc facile d'énumérer les solutions entières 

 de ces équations, et on voit que leur totalité ne surpassera jamais le produit 

 du nombre des diviseurs carrés de 



(4/> 3 + * iq *)q* - i6[{p* - 4'; 3 + 9W 2 k 

 par 12.» 



