(4 7 ) 

 lieu de chercher son expression en fermes finis, car pour cela il est indis- 

 pensable d'avoir la valeur exacte de ces intégrales, tandis qu'elles ne peu- 

 vent être évaluées qu'approximativement. Pour l'intégration en question, 

 on doit avoir un moyen qui, d'après la nature-des quantités l, m, n, p, et à 

 l'aide des seules opérations algébriques en nombre limité, puisse manifester 



si l'intégrale / x = . dx est possible ou non en termes 



J yV + lx 3 -t- mx' -h nx ■+- p 



finis. C'est ce que nous avons cherché à faire, et nous y sommes parvenu, 

 en tant que les quantités l, m, n, p sont rationnelles et le polynôme 

 x* -+- lx s -+- mx* -4- nx + p indécomposable en facteurs linéaires à l'aide des 

 seuls radicaux carrés. Au moyen de la méthode que nous avons trouvée 

 pour l'intégration des différentielles de ce cas, on parvient, par une série 

 d'opérations identiques, ou à s'assurer que cette intégration est impossible 

 en termes finis, ou bien à l'exécuter complètement. En tous cas le procédé 

 se termine, et chaque fois on peut assigner la limite du nombre des opéra- 

 tions qu'on aura à faire. En remettant l'exposé de cette méthode à un Mé- 

 moire détaillé sur ce sujet, nous nous bornerons pour le moment à observer 

 que, pour le cas que nous avons résolu, la méthode en question fournit un 

 moyen infaillible d'assigner la limite où, en cherchant l'intégrale par la 

 méthode d'Abel, on peut toujours arrêter le développement en fraction 

 continue. Cela posé, et en admettant, pour plus de simplicité, que la diffé- 

 rentielle . dx est réduite à la forme 



y x' -+- Ix 3 -t- mx 1 -\- nx -\- p 



x+ A 



dx, 



\x< -t- px* -f- qx •+- r 



p, q, r désignant des nombres entiers, la méthode d'Abel relative au cas en 

 question peut être complétée ainsi qu'il suit : 



» Si dans la différentielle ■ dx, le polynôme 



y x 4 •+■ px' -+- qx ■+■ r 



x* ■+■ px 2 -h qx -t- r, 



ayant pour coefficients des nombres entiers, n'est pas décomposable en 

 facteurs linéaires à l'aide des seuls radicaux carrés, cette différentielle, 

 quelle que soit la valeur A, ne pourra être intégrée en termes finis, tant 

 que dans la fraction continue résultant du développement de 



\!x* -h px* ■+■ qx -t- r, 

 aucun des îN- i premiers dénominateurs n'est du deuxième degré, N 



1- 



