( io ) 

 forme 



(i) f + p (A 2 j- 2 H- A, f~* -+- . . . + A e ) = o, 



où les coefficients, sauf le premier, sont des entiers multiples de p. 



» Il est aisé de voir qu'en posant y= i ■+■ ez l'équation (i) se change 

 en une autre de même degré 



(2) ? e (z) = o, 



qui n'est autre que l'équation auxiliaire de Gauss, pour la résolution de 

 x p = 1 . L'équation (1), que j'ai démontrée dans les Comptes rendus de 1 844 5 

 est plus commode en bien des cas. 

 » Pour p 7= if+ 1, on a 



J a -(-0 ' /> = «; 

 pour p = 3/ + i» 



j* — 3pj — pL = o, 4/> = I> 2 + 27 M% L=i (mod3); 



pour p — 4/ '-Hi, 



{^_[ I _ 2 (_ I )/]^p_4 p ( jr _L) 2 = o, ^=L a + 4M 2 , L=i (mod4). 



» On connaît l'usage de ces équations dans la théorie des résidus qua- 

 dratiques, cubiques et biquadratiques; je me propose de présenter d'une 

 manière plus simple et plus complète ce que j'ai écrit à ce sujet, et sur la 

 résolution de l'équation x p = 1 . 



» II. M. Kummer a montré que l'équation auxiliaire de degré e, 

 f e [z) = o étant changée en congruence à module premier 



<p e (z) = o (modq), 



il fallait, pour la réalité de z, donner au nombre premier n la forme kp -f- r 

 sous la condition rf^i (modp). Autrement, prendre pour r un résidu 

 de e ieme puissance. La fonction y e (z) a en outre un nombre limité de divi- 

 seurs exceptionnels, et parmi eux le nombre p. 



» La même démonstration s'applique aux équations auxiliaires mises 

 sous la forme (1). La démonstration peut même être ramenée à la considé- 

 ration des congruences ordinaires, c'est-à-dire à coefficients réels et entiers. 



« III. Pour première conséquence, on peut faire remarquer que dans le 



