( 7*3) 

 » En considérant d'une part qu'un polygone a toujours au moins 3 côtés 

 et que chaque arête d'un polyèdre appartient à deux faces ; et d'autre part 

 que tout sommet de polyèdre a au moins 3 faces et que toute arête joint 

 deux sommets, on trouve les deux conditions-limites ci-dessous ; 



(aj 3F = 2A, 



(3) 3S5-2A. 



» Si la condition (a) devient une égalité, toutes les faces du polyèdre 

 sont des triangles; si c'est la condition (3) qui devient une égalité, tous les 

 sommets sont des angles trièdres. Dans le premier cas les faces sont en 

 nombre pair, dans le second cas ce sont les sommets qui sont en nombre 

 pair, et dans l'un et l'autre cas le nombre des arêtes est un multiple de 3. 



» Si l'on nomme ordre l'ensemble de tous les polyèdres qui ont le même 

 nombre d'arêtes, et si on divise les ordres en genres suivant le nombre des 

 sommets ou des faces, la série des ordres commence par celui de 6 arêtes, 

 et en faisant croître la valeur de A qui caractérise les ordres, le nombre de 

 genres qu'ils contiennent respectivement varie comme il suit : 



IN ombres d'arêtes de chaque ordre — G, 7, 8, 9, 10, 11, 12, i3, 14, i5, 16, ij, 18, ig, au 

 Nombre de genres 

 contenus dans chaque ordre i, 0, 1, a, 1, 1, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5 



» La série des ordres se partage ainsi en groupes de 3 ordres équigénéri- 

 ques entrelacés. Ainsi les ordres à 6, 8 et io arêtes sont unigénériques, ceux , 

 à 9, 1 1 et 1 3 arêtes sont bigénériques, ceux à 12, 1 4 et 16 arêtes sont trigéné- 

 riques; généralement ceux à 3rc, (3«-f-a), et (3rc -t- 4) arêtes contiennent 

 chacun (n — 1 ) genres, ou sont [n — 1) génériques. 



» Les ordres à 3n arêtes seuls ont des genres extrêmes, savoir un genre 

 extrême trièdre, où tous les sommets sont trièdres, et un genre extrême trian- 

 gulaire, où toutes les faces sont des triangles. 



» Dans tout ordre qui a un nombre pair d'arêtes, il existe un genre 

 moyen, c'est-à-dire ayant autant de sommets que de faces. On a, pour les 

 genres moyens 



J 



S=F=^A -r-I. 

 2 



» Toutes ces propositions et plusieurs autres se démontrent sans calcul, 

 avec une extrême facilité par la simple inspection d'une figure symbo- 

 lique, que le lecteur peut tracer très-facilement sans instrument sur 



