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Où pouvait-on espérer de découvrir les éléments de ce travail ? Dans 

 les XXXVIII Lemmes de Pappus. C'est, en effet, là que nous les avons 

 trouvés, après une analyse approfondie de ces Lemines dans l'Aperçu histo- 

 rique (p. 33-37'), comme nous l'avons dit alors (Ibid, p. 279), et comme le 

 prouve (nous espérons, du moins, que, sur ce point, le témoignage d'au- 

 cun géomètre ne nous sera contraire) le rétablissement de l'ouvrage d'Eu- 

 clide, auquel nous sommes parvenu. 



Ehbien! précisément M. Breton dit dans son Mémoire de 1 855, « qu'il 

 » est peu à espérer qu'on puisse remonter des Lemmes de Pappus aux pro- 

 » positions mêmes du Traité des Porismes (1). » 



Voilà l'idée qu'il s'est faite de la question des Porismes. S'étonnera-t-on, 

 après cela, qu'il n'ait pas même abordé dans ses nombreux écrits la véri- 

 table question? 



Résumé de nos conclusions relatives aux cinq parties de la Réclamation de M. Breton. 



« i°. Simson a considéré les énoncés de Pappus comme étant l'œuvre 

 même de ce géomètre, et non comme des propositions mutilées dans les 

 manuscrits. 



» 2 . Simson a parfaitement vu que ces énoncés représentaient de sim^ 

 pies affirmations dépourvues d'hypothèses. 



» 3°. jCe géomètre a vu en outre que chaque énoncé répondait à plu- 

 sieurs Porismes d'Euclide ayant des hypothèses différentes. 



» 4°- Couséquemment il a vu que ces énoncés n'avaient pas pour objet 

 d'exprimer une trentaine seulement des propositions du livre d'Euclide. 



» 5°. Enfin il a vu que pour obtenir, conjecturalement, les Porismes d'Eu- 

 clide, il fallait associer des hypothèses aux énoncés de Pappus : et consé- 

 quemment il a connu parfaitement le caractère de ces énoncés. » 



Ces conclusions partielles ont été justifiées l'une après l'autre, dans l'or- 

 dre même des assertions contraires dont elles sont la réfutation. 



Que reste-t-il après cela des découvertes de M. Breton ? Une seule, 

 nous l'avons dit, mais qui est vraiment de lui, savoir que les Porismes 

 d'Euclide sont les énoncés mêmes de Pappus, et non des propositions avec 

 hypothèse et affirmation, comme tous les géomètres l'ont cru. 



Mais je doute que M. Breton ait plus réussi dans l'interprétation des 

 textes de Pappus et de Proclus, sur lesquels il fonde son système, que dans 



(1) V. Journal de Mathématiques, t. XX, p. 296, année i855. 



C. R., 1860, a rae Semestre. (T.LI, N° 27.) 1*4° 



