( io3a ) 



» M. Prouhet, auteur de la Note, croit devoir remplacer l'angle solide 

 externe par l'angle solide supplémentaire, puis il donne du beau théorème 

 de Descartes l'énoncé qui suit : 



« De même que dans un angle plan (convexe) la somme des suppléments 

 des angles plans est égale à huit angles solides droits, de même dans un 

 polyèdre (convexe) la somme des suppléments des angles solides est égale 

 à huit angles solides droits. » 



» Il en fournit une démonstration très-simple. Nous tenons l'énoncé pour 

 exact et la démonstration pour bonne ; mais nous croyons pouvoir affirmer : 

 i° que l'angle solide externe de Descartes n'est point l'angle supplémentaire 

 de M. Prouhet; a° que la démonstration du théorème est implicitement 

 contenue dans le texte même. 



» En outre, nous nous permettons d'en offrir à notre tour une démons- 

 tration tout à fait indépendante de la considération, soit de l'angle solide 

 externe de Descartes, soit de l'angle supplémentaire de M. Prouhet. 



» i°. Descartes définit son angle solide externe, dans la seconde phrase, 

 par ces expressions curvaturam seu inclinationem planorum ad invicem, où 

 il n'est point question d'angle supplémentaire. La courbure ou l'inclinai- 

 son des plans, les uns à l'égard des autres, par exemple des faces A et B, 

 réunies par l'arête commune C, n'est autre chose que l'inflexion donnée 

 à l'une des faces A, supposée d'abord le prolongement de B, pour la 

 placer dans l'angle solide donné : c'est par analogie et lorsque le nombre 

 des sommets ou côtés est infini dans le polygone plan , cet angle de 

 contingence, célèbre dans les travaux des géomètres modernes, et aussi 

 la courbure totale, citée par M. Bertrand, de l'Institut, dans la séance 

 du 23 avril (voilà pourquoi dans le polygone inscrit au cercle, la cour- 

 bure totale ou la somme des angles de contingence = 4 droits, et dans 

 le polyèdre inscrit dans la sphère la même courbure devient 8 angles solides 

 droits). 



» a°. La démonstration de Descartes est comprise dans la troisième 

 phrase, commençant par le mot nam...; quoique fort concise, elle me paraît 

 satisfaisante. 



» Les angles extérieurs ou externes d'un polygone plan'( convexe), qu'ils 

 soient des suppléments ou non, c'est-à-dire formés en général entre les deux 



comme il penche à le croire, il le remplace du moins par celui-ci : plani. Pourquoi ne serait-ce 

 pas \Aw\àl planiquc ? 



