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 côtés de l'angie et une droite extérieure menée par le sommet commun a 

 ces côtés, ces angles, disons-nous, font une somme constante qui a pour 

 valeur quatre angles droits, comme inscrits et embrassant deux fois la 

 circonférence. 



» De même les angles externes d'un polyèdre convexe : Ma pars, quà 

 aggregatum. . . minus est quam quatuor anguli recti planique. . . , embrassant 

 deux fois l'étendue superficielle de la sphère, exprimée par 8, et assimilés 

 à des angles plans également inscrits, auront une somme constante égale à 8. 



» De là on déduit immédiatement la formule 4S — A = 8 donnée par 

 Descartes, et de laquelle M. Prouhet déduit le théorème d'Euler : ce qui 

 donne une juste idée des progrès de l'illustre géomètre dans la théorie des 

 polyèdres. 



» Voici maintenant notre démonstration, que nous rendrons plus sensible 

 en commençant par la géométrie plane. 



» Décomposons le polygone en triangles par des diagonales menées 

 d'un même sommet; il est évident que si on les ôte successivement en 

 commençant par un bout, on supprime à la fois i sommet et on enlevé 

 2 droits; donc arrivé au dernier côté qui renferme i sommets; on aura 

 enlevé 2 (S — 2) angles droits, et comme il ne reste plus de triangles, on a 

 la somme des angles a = a (S — 2). 



» Opérons une décomposition analogue dans un polyèdre à l'aide de 

 pyramides triangulaires ou non, et ôtons successivement une à une ces 

 pyramides; on aura d'un côté chaque fois 1 sommet de moins et de l'autre 

 4 angles droits de moins ; car dans une pyramide à n faces triangulaires 

 les n triangles ont 2 n droits, et la base qui les remplace, et a n côtés, n'offre 

 que in — 4 droits. Cela posé, arrivant à la dernière de p faces triangulaires, 

 on aura perdu S — p — 1 sommets et 4 (S — p — 1 ) droits = 4$ — (\p — 1 . 

 Mais cette dernière pyramide présente ip-Y- ip — 4 droits (2 p pour les 

 triangles groupés au sommet et 2/J — 4 pour la base); on a donc 



A = 4S — kp — 4 -+• %p-+- ip — 4 = 4 S — 8. 



» Ainsi le nombre des angles droits que renferme la sommé des angles 

 d'un polyèdre convexe est exactement le double de celui qui se trouve 

 dans un polygone plan convexe d'un même nombre de sommets que le 

 polyèdre, ce qu'il n'est pas difficile de concevoir à priori. » 



