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on peut mener dans ces plans respectivement deux droites homologues a' a et a' a". 



» 55. Ces deux droites enveloppent deux paraboles qui font partie respecti- 

 vement des deux figures égales contenues dans les plans P, P' ; et les points de con- 

 tact des deux droites sur ces courbes sont deux points homologues. 



» Les deux paraboles sont tangentes à la droite D' en deux points diffé- 

 rents qui limitent la curde située sur cette droite (55). 



» 56. Le plan des deux droites a' a, a' a", tangentes à ces deux paraboles, 

 enveloppe une surface développable du quatrième ordre dont la génératrice est 

 la droite qui joint les points de contact des droites a'a , a' a" avec les deux para- 

 boles, respectivement. 



» 57. Cette développable jouit des propriétés suivantes : 



- i°. Par un point quelconque de [espace on ne peut lui mener que trois 

 plans tangents ; 



» i°. Son arête de rebroussement est une courbe à double courbure du troisième 

 ordre ; 



» 3°. Chacune des cordes qui joignent les points du plan P à leurs homologues 

 du plan P' est la droite d intersection des deux plans tangents à la développable ; 



» Et réciproquement, la droite d'intersection de deux plans tangents quel- 

 conques à la développable, est une corde qui joint deux points homologues des 

 deux plans; 



» 4°- P ar un point de l'espace il ne passe que trois de ces cordes. — Deux peu- 

 vent être imaginaires; la troisième est toujours réelle. 



» 58. Quand les deux figures situées d'une manière quelconque dans [espace 

 sont deux courbes égales d'ordre va, les droites qui joignent deux à deux leurs 

 j>oints homologues forment une surface réglée de l'ordre i m. 



» Si les deux courbes ont un point commun, c'est-à-dire un point qui 

 considéré comme appartenant à la première soit lui-même son homologue 

 dans la seconde, la surface réglée est de l'ordre (2 m — 1). 



» Et si les deux courbes ont deux points communs, la surface réglée n'est 

 plus que de l'ordre (1 m — a). 



» Ainsi par exemple : Deux coniques égales étant placées dune manière 

 ipielconque dans l'espace, les droites qui joignent deux à deux leurs points homo- 

 logues forment une surface réglée du quatrième ordre. 



» Si les deux'coniques ont un point commun, la surface est du troisième ordre. 



m Et si les deux coniques ont deux points communs, la surface est du second 

 ordre, cest-à-dire un hyperboloïde. 



