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» En changeant x en x -h at, on aurait les températures successives de 

 la tranche correspondante à l'abscisse x dans l'état initial. 



» On peut parvenir directement à cette formide sans passer f)ar l'inter- 

 médiaire de l'équation (24)- On cherchera d'abord quel serait l'état inva- 

 riable de la veine, en supposant la température égale à v, pour x = o, et 

 finie dans toute son étendue. On trouvera ainsi 



jn X 



V, e 



» En faisant les mêmes transformations que dans la troisième question, 

 c'est-à-dire posant 



ax _ f a' \ 



v = y -h wé" , 



on obtiendra de même 



div j d'tv 



«t l'on devra avoir 



tv := o pour JC = o 



et 



ax 



w = e '^'^ [(p{x) — v^e'"'"'] pour t = o, 



la fonction f étant donnée de o à 00 . On prendra pour w la valeur particu- 

 lière 



H' = Me-'''^''sinê^, 



S et M désignant des quantités quelconques indépendantes de t et x. 



» On peut faire la somme d'un nombre quelconque de solutions de ce 

 genre, et on satisfera toujours à l'équation en iv et à la condition tv = o pour 

 X = 0. Si l'on prend M = F {î)dê, F désignant une fonction arbitraire et 

 que l'on intègre entre deux limites quelconques de ê, on satisfera encore 

 aux mêmes conditions, puisque ce n'est qu'ajouter des solutions. Nous 

 choisirons les limites o et 00 , et nous aurons l'expression 



r 



e-'*'^''sinêa:F(g)^6, 



Si l'on y fait < = o, on devra trouver la valeur initiale donnée, ce qui conduit 

 à l'équation 



ax 



