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 que du second degré par rapport à la fonction, parce que ce cas se ren- 

 contre le plus fréquemment dans la pratique, qu'il ne présente aucune 

 difficulté d'aucun genre et que la solution qu'il comporte permet de préju- 

 ger celle qui convient aux autres cas. 



» Soit la fonction j' définie par l'équation 



7 = P zh y-Q, 



P et Q étant des fonctions rationnelles de x: il est évident que les deux 

 valeurs de jr ne pourront se permuter que lorsque les deux parties réelle 

 et imaginaire de j — P auront successivement changé de signe en pas- 

 sant par zéro, puisqu'on ne donne pas à x de valeur qui annulerait Q ou 

 le rendrait infini. Or la partie réelle de j — P ne peut s'annuler que lorsque 

 X prend luie valeur réelle qui rende Q négatif, sa partie imaginaire ne peut 

 s'annuler que lorsque x prend une valeur réelle qui rende Q positif 

 ou une valeur imaginaire qui rende y — P réel ; on ne peut donc avoir 

 à se préoccuper que des passages de x par ces trois genres de valeurs. 



» On discute ainsi très-aisément et très-rapidement, sans recourir à au- 

 ciui développement de la fonction en série, toutes les équations qui ne la 

 contiennent qu'au second degré. 



» La même méthode pourrait être étendue aux équations de degré supe- 

 rioiu-, car deux valeurs conjuguées de y (j'appelle ainsi deux fonctions de 

 x satisfaisant à l'équalion proposée, qui, pour des valeurs réelles de x, se- 

 raient en même temps réelles ou imaginaires conjuguées) ne pourront se 

 permuter l'une dans l'autre qu'autant que les padiies réelle et imaginaire 

 de leur demi-différence auront successivement changé de signe en pas- 

 sant par zéro, c'est-à-dire, en désignant par z cette demi-différence, qu'au- 

 tant que le point [xz] aura successivement, d'une part traversé la conju- 

 guée C = oo de la courbe dont l'ordonnée serait z, et de l'.autre, soit passé 

 sur cette courbe en la rasant, soit traversé sa conjuguée C = o. 



)' Les passages des deux premiers genres correspondent à des passages du 

 point [xj-] sur la conjuguée C = oo de la courbe proposée ou sur cette 

 courbe elle-même, mais les passages du point [xz] sur la conjuguée C = o 

 de la courbe dont l'ordonnée serait z, ne pourraient être observés qu'au- 

 tant qu'on connaîtrait l'équation en z, et il serait illusoire, dans la plupart 

 des cas, de proposer de rechercher cette éqilation . 



» Pour lever les dernières difficultés que comporte la question, on sui- 

 vra de proche en proche la marche de chacun des points [xy] sur les con- 

 juguées de la courbe représentée par l'équation proposée. 



i) liCS conjuguées qui touchent la courbe en ses points singuliers sont 



