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 suis parvenu pour 72 = 3 , 5 aux résultats suivants : 



x" + ^u^ x^ + law'.r^ 4- (aw + ^ii.^)X-\- 3 ;i* = o , 



x^ — i5«*x* — 4o«'^' + 5"*(7- 'Cft*)x- 



— 4"-»(i — » i m' 4- i6m'*) — 5«' = o. 



En remplaçant dans ces équations m en -et ar en — , on trouve les relations 



qui lient le module à la quantité — • 



» Les équations modulaires calculées par M. Sohnke donnent sans au- 

 cun calcul nouveau les quantités v\ -, en fonction du module. Effectivement 



pour avoir v' il suffit, comme Jacobi l'énonce dans les ISov. Fund., de chan- 

 ger u en u', et v en v' dans les équations modulaires et nous aurons les re- 

 lations entre le module et -,, en remplaçant dans les mêmes équations u 



par e —eiv par 7 e • 



■> La théorie de la transformation présente une autre équation, dont je 

 me suis aussi occupé. Soient 



(^^Um. U = v'/cA', V=vXX'. 



fi,tx 



Les fonctions ratioinielles symétriques des valeurs de V, qui correspondent 

 aux diverses transformations d'un même ordre, ne dépendent que de la 

 quantité L. 



» De là résulte l'existence d'une équation de degré n -t- i entre V et U. 

 Le calcul effectué pour les nombres n = 3, 5, 7 m'a donné les résultats 

 suivants déjà cités dans un Mémoire de M. Hermite : 



V* - 4 u^ y^+ a UV + U* = o, 



V- i6U''V5-f-i5U*V«-M5U'V'-t-4UV+U'' = o, 

 V''-64U'V'+ 7.48U'^V«-7.96U'V'+7.94U»V*-7.48L'V^ 

 + 7.i2U*V^-8LV+ L'>*=o. 



« Ces équations jouissent de deux propriétés essentielles, analogues à 

 celles des équations modulaires. 



» 1°. Elles demeurent les mêmes quand on échange entre elles les let- 

 tres U et V. 



