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 » et la température de l'eau affluente étant maintenue constante, ainsi que 

 » celle de l'eau sortante, trouver le système des températures invariables 

 • en chaque point du tube. » 



» Remarque. — Les températures variables que nous venons de calculer 

 sont les températures limites , en partant d'un état initial quelconque, 

 puisque ces températures limites sont invariables en chaque point, et que 

 cette condition conduit aux calculs précédents. 



» Troisième question. — Une veine coulant dans un tube d'une longueur 

 finie a des températures maintenues fixes aux deux extrémités du tube ; son 

 état initial est donné dans toute l'étendue de ce tube : on demande la tempé- 

 rature d'une tranche quelconque à une époque quelconque. 



» Cette question ne diffère de la première qu'en ce que l'état initial n'est 

 donné que dans la longueur / de la veine, et que les températures des deux 

 extrémités ont des valeurs données fixes v,, v^. Il faudra donc, à l'équa- 

 tion {i4)> qui est 



de , (Pv dit , 



joindre les deux conditions 



V = v^ pour j: = o, 

 f = ('2 pour .a: = /. 



» Nous commencerons par ramener la question au cas où les extrémités 

 seraient maintenues à la température o. Pour cela, nous chercherons les 

 températures invariables en supposant les extrémités maintenues aux tem- 

 pératures fixes v^^ ^2- Elles seront données par la formule (19); nous les 

 représenterons par V. Nous poserons ensuite 



V = y -Jr \j. 



M L'équation (i4) deviendra 



-— = u,* —- —a- ou, 



dt "^ rfx' dx ' 



et l'on devra avoir 



v =z o pour j: := o et pour jc = /, 

 u = (j)(ar) — V pour f = o. 

 » Si l'on pose 



