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 Cette valeur devient, en faisant passer sons le signe / le facteur 



e 4m'' 



Or si l'on pose 



I/TT »/ — 03 



W H r= S, 



2p 



d'où 



d(^=:d6, et x + 2 |nu V^ = -a^ -t- 2 |j,9 V^ — û<, 



on aura, en réunissant les deux parties de v, 



(i5) V = -^e~'" f e'~^'(p{jc -h2[j.6\Jt — at) de. 



» La valeur de v étant ainsi déterminée, l'équation (i3 bis) donnera la 

 valeur de u et la question sera résolue. 



») Lorsque la fonction cp est finie pour toutes les valeurs de la variable, 



qui entre dans v est finie ; et lorsque le temps croît indéfini- 



ment, v tend vers la limite Ç ; ê tend alors vers o, a vers o et u vers o. Ainsi 

 les températures de la veine et du tube tendront indéfiniment vers celle du 

 milieu extérieur, comme il était facile de le prévoir. 



)) Si l'on regardait comme insensible la conductibilité du liquide, i/. serait 

 une quantité excessivement petite, et en la faisant nulle, l'équation (i5) 



deviendrait, en remarquant que / e~^'dQ = Jn 



J — .00 



(i6) V ■=■ e [ç(x — a<)]. 



» Le cas de la veine mobile se ramènerait facilement à celui où elle est 

 immobile, en admettant les circonstances dans lesquelles les calculs précé- 

 dents ont été effectués. 



» En effet, les équations (7), (8), (9), auxquelles ces simplifications ont 

 conduit, sont celles qui détermineraient la valeur finale de m, en supposant 

 que le liquide en contact avec la surface intérieure eût constamment la tem- 

 pérature V. C'est donc comme si on faisait la supposition qu'en chaque sec- 

 tion orthogonale les températures dans l'épaisseur du tube s'établissent 



