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{l—k) r9*(i— 9)'-*-'rf9 



I 



- (/_/î)B(/' + X-t- !,/—*)■ 



. « Au moyen de ces valeurs, l'équation (i) devient 



, B(x + i, /-/!•) _ y i-k i'{f—i)[i-k){i-k- 



^ ' B(r-|-i<-+i,/— *)"" I >H-i 1.2 (A+i)(A + 2) 



ou, en posant 



k -\- i := p, l' + k -h i —q, l — k= m: 



( B(/>,»j)_ mp — q^ m {m—l){p — q){p — q + \) 



(/— /(•)B(X-f- !,/-/•) 



.B(7,w)~ I /J 1.2 P[p+^) 



I _ m(m—i){m — 2)(p — q){p — q+i){p — q-i-2) _^ 



■W \ 1.2.3 P{P+ i){P + 2) 



» III, L'équation (2) a été obtenue en supposant /et /'et A entiers positifs. 

 Par conséquent, la formule (A) paraît soumise à de nombreuses restrictions. 

 Néanmoins elle est générale ; c'est-à-dire qu'elle subsiste lorsque p, q, m 

 étant des quantités positives quelconques, le second membre est un po- 

 lynôme ou une série (*). Pour abréger, j'omets la démonstration. 



» IV. — Feu M. Binet, dans son savant Mémoire sur les intégrales définies 

 eulériennes, démontre une formule que l'on peut écrire ainsi : 



(A') 



B(/^>^) _ , _ P — q '" _^_ {p — q){p — Ç — i) m{m-+- 1) 



'B(q,m) I m+q 1.9. (m + q){m -t q ■ 



[p — q){p — 9 — '^]{p — 1 — '^) m(in+ i)(m4-2) 



1.2.3 {m + q){m+q + i){m-tq +2) 



» Ces deux formules (A) (A'), évidemment différentes, ne sont cependant 

 pas contradictoires, ainsi qu'on le reconnaît au moyen du théorème d'Eu- 

 ier, exprimé par l'équation 



^{p,m) _ B (/>,/« +q) 

 » V. La formule (A) donne immédiatement l'intégrale eulériennede pre- 

 (*) Cette série est toujours convergente. 



