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 été énoncé : « Si an est le nombre des intégrales du système proposé, il ne 

 » peut y avoir plus de n intégrales distinctes, dont toutes les combinaisons 

 » deux à deux soient nulles. » 



» Dans la seconde partie, je cherche les simplifications qui peuvent résulter 

 pour l'équation (a) de la connaissance d'une seule intégrale. Je prouve alors, 

 par un calcul direct, que l'intégration de l'équation (2), aux dérivées par- 

 tielles par rapport à (2 « + i ) variables, peut être remplacée par l'intégration 

 successive de deux équations aux dérivées partielles par rapport à (aw — i) 

 variables seulement. Et, comme conséquence de mes calculs, je trouve cet 

 important théorème, dû à M. Bertrand : 



« Si a est une intégrale quelconque du système (i), il existe (aw — 3) 

 » intégrales distinctes de a, qoi donnent 



(a, (p) = o, 



» f désignant une quelconque de ces intégrales. Quant à la dernière inté- 

 » graie p, qui ne peut pas vérifier cette relation, elle pourra toujours être 

 » assujettie à donner 



(a, /3)= t. ). 



» C'est ce théorème qui a été le point de départ de l'analyse de M. Bour. 



» Les calculs développés dans cette seconde partie me conduisent donc 

 au théorème de M. Bertrand et aux conséquences qu'en a déduites M. Bour 

 dans le Mémoire précité. Néanmoins j'ai insisté davantage sur les procédés 

 d'intégration qu'on pouvait tirer de ces transformations, sur l'examen des cas 

 particuliers et sur la détermination de la dernière intégrale, lorsque le pro- 

 blème a pu être poussé jusqu'à ce point; j'ai fait voir qu'elle pouvait dé- 

 pendre de l'intégration d'une expression qui est toujours une différentielle 

 exacte. 



» Mais mon intention n'était pas seulement d'insister sur ces détails et de 

 présenter sous une nouvelle forme des résultats déjà obtenus pour la plu- 

 part. Cette première recherche était destinée surtout à établir quelques théo- 

 rèmes nécessaires pour aborder plus simplement l'étude du cas général, dans 

 lequel on connaît plus d'une intégrale; et j'ai préféré déduire ces résultats 

 d'un calcul direct, afin de donner plus d'unité à mon travail. 



» La troisième partiCj qui est la plus importante de ce Mémoire, est con- 

 sacrée à l'étude des transformations qu'on peut faire subir à l'équation (a), 

 à l'aide des intégrales connues satisfaisant toujours aux conditions dont j'ai 

 parlé. Je fais alors intervenir simultanément toutes ces intégrales pour trans- 

 former l'équation (2), et je démontre que : « Si /^ est le nombre des inté- 



