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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur le nombre des valeurs que peut ac- 

 quérir une fonclion quand on permute ses variables de toutes les manières 

 possibles; par M. Emile Mathieu. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Hermite, Bienaymé.) 



« Supposons dans tout ce qui va suivre que m soit un nombre premier ; 

 dans le nouveau Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie des 

 Sciences, je commence par établir le théorème suivant : 



» Soit u un diviseur de m — i, il y a toujours une fonction transitive 



de m variables qui a valeurs. 



>) Si Ton suppose que «-soit égal à ;w — i, la fonction donnée par ce 

 théorème est deux fois transitive et a i.a...(m — a) valeurs; Lagrange a 

 donné un type de cette fonction dans un Mémoire concernant la résolution 

 des équations de degré premier. Désignons par Xg, x,, .a:2,...x,„_, les m 

 variables de cette fonction ; si w est une racine primitive du nombre pre- 

 mier m, et si nous convenons que x,„p+^ = x^, les variables x,, X2,...x,„_\ 

 pourront être représentées à l'ordre prés par x^,', x^„ x^',..., Xu"-^; soit 

 encore 



?\\^o)i^\i '^oii x: la' ^ , . . , X fj,"'~'' ^ 



une fonction qui n'est pas changée par la pormutation circulaire 



\X \ X fj Xf^i'. . .X(J'^~-j ; 



faisons sur cette fonction m fois de suite la permutation circulaire 



^Xq X ^ X2 • . '«^T/rt— I j, 



nous aurons les m fonctions 



^[(jirjj, x^^ ari_(-c,, Xi^,^,'^. .. ^ j^n-oj"—'], 



Prenons une fonction symétrique de ces m fonctions, et nous aurons une 

 fonction 



(N) <^{xo, x^, X,,, x,^',..., x,^"-') 



qui est la forme générale des fonctions deux fois transitives de m lettres, 

 qui ont \.i...[m — 1) valeurs. 



