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» Nous arrivons maintenant au théorème le plus remarquable de ce 

 Mémoire : 



« Si m est un nombre premier, il y a une fonction trois fois transitive 

 » de m -h i lettres qui a i.2...(?n — 2) valeurs. » 



» Nous allons donner la forme générale de cette fonction. Soient Xo,' 

 •^o-*^m-M -^'o '<^''' '" + ' variablesque renferme cette fonction. Sur la fonc- 

 tion (N), qui contiendra outre les variables x„, x,,..., x,„_, la variable x'^ 

 d'une manière arbitraire, faisons m fois la permutation circulaire 



/ ï f f f \ 



x\, wC'a,..., x!„_, étant déterminées par les égalités 



x\=x,, x^, = Xr^'"-', Xo,-- =: Xo,"-^, etc., 

 nous obtiendrons ainsi m fonctions; ajoutons-y la fonction 



/ r r ' ' ' \ 



enfin prenons une fonction symétrique de ces m + i fonctions, nous aurons 

 une fonction 0, qui est la forme générale des fonctions trois fois transitives 

 de ?n + I lettres, qui ont i.o....(in — 2) valeurs. 



« Ce théorème est fort remarquable; car, avant que je me fusse occupé 

 de la question du nombre de valeurs d'une fonction, il n'avait encore été 

 signalé qu'une seide fonction trois fois transitive, c'est la fonction trois fois 

 transitive de six lettres qui a six valeurs, et qui, comme on voit, est donnée 

 par mon théorème. 



» Soient T et T' deux fonctions semblables à 6, et soit 



^ V = {Xq Xfj [Xq X^J...{Xq -S^m-O ['^o ■^ol'"\'^m-i — "^oji 



T + TV est une fonction deux fois transitive de m + i lettres, qui a 



i.2...(ffî — 2) X 2 valeurs, 



et nous avons encore ce théorème : « Si m est un nombre premier, il y a 

 » toujours une fonction deux fois transitive de w -|- i lettres, qui a 



1.2... (m — 2) X 2 valeurs. » 



1) Ce théorème donne une fonction deux fois transitive de six lettres qui 

 a douze valeurs, et qui peut èire remarquée parce qu'elle fait seule excep- 

 tion à ce théorème : 



« Si une fonction de n lettres a 2 « valeurs, il y a n — 1 de ses lettres par. 

 » les permutations desquelles elle n'acquiert que deux valeurs. » 



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