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 lequel on suppose les forces variant en raison inverse du carré de la 

 distance, on trouve une équation dans laquelle les quantités u-{- i>etu — v 

 sont en évidence, ce qui conduit à les prendre pour variables indépen- 

 dantes. 



» On trouve alors une équation qui rentre dans le type général 



» On ne sait pas intégrer l'équation précédente d'une manière générale, 

 mais on sait l'intégrer, et c'est là le cas du problème qui nous occupe", lors- 

 qu'elle prend la forme 



2 (XY- X, ¥,)/'+ (X'X, - XX',)j'*+ (Y;X, - XY') j"'+ (YX'- Y, X'Jj' 

 + (Yt.-Y.Y') = o; 



X, X,, X', X', représentent deux fonctions de x et leurs dérivées, de même 



Y, Y, , Y', Y'j deux fonctions de j- et leurs dérivées. 



» Or l'équation précédente s'intègre immédiatement en ajoutant et retran- 



y' 

 chant aXX, y j" et multipliant les deux membres par - — y, — -• 



)) On trouve, en désignant par D une constante arbitraire, 



dy dx 



s/dY— Y' v^X — DX' 



Q,n achève ensuite la solution du problème de mécanique, au moyen de 

 l'équation des forces vives. 



» Nous avons fait une seconde application de la formule au cas où les deux 

 forces attirent le mobile en raison inverse de la distance. On ne sait pas 

 intégrer dans ce cas l'équation différentielle de la trajectoire; mais on peut 

 prouver que sous certaines conditions initiales la lemniscate de Jacques 

 Rernoulli, et elle seule parmi les lemniscates, peut être une solution particu- 

 lière de l'équation différentielle. Pour traiter cette dernière question, nous 

 avons eu besoin de connaître le rayon de courbure d'une lemniscate quel- 

 conque. 



» Par la formule précédemment donnée, on trouve 



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P — 3^_(.c' — i'' 



expression qui se déduirait assez péniblement des formules connues. » 



